Bedingte Wahrscheinlichkeit
3. Bsp.:Um zu überprüfen, ob eine Frau schwanger ist existieren einfache Schnelltests, die jede Frau selbständig zu Hause durchführen kann. Aus Erfahrung weißman, dass diese Schnelltests nicht sehr genau arbeiten. Der Schwangerschaftsschnelltest Femina erkennt eine vorhandene Schwangerschaft mit 98% Wahrscheinlichkeit. Leider ist er auch mit 5% Wahrscheinlichkeit fälschlich positiv. Zeigt Femina ein positives Ergebnis, ist eine Frau mit 80% Wahrscheinlichkeit tatsächlich schwanger. Wie großist bei diesem Test das Risiko für eine Frau doch schwanger zu sein, obwohl der Test negativ war?
Lösung:
Diese Aufgabe ist deutlich anspruchsvoller als die vorherigen, da gar keine totale Wahrscheinlichkeit gegeben ist. Wie sich Aufgaben von diesem Typ lösen lassen, wird im Folgenden gezeigt. Schüler der Mittelstufe des G8 müssen solche Aufgaben noch nicht selbständig lösen können. Diese Aufgabe ist also eher für Abiturienten interessant.
Es werden die folgenden Abkürzungen verwendet:
P für „positiver Test“ (d.h. laut Test ist die Frau schwanger)
S für „schwanger“ (d.h. die Frau ist tatsächlich schwanger)
Wir ordnen wie schon bei den vorherigen Aufgabenbeispielen zuerst die Angaben im Text den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu:
Im Text heißt es:
Der Schwangerschaftsschnelltest Femina erkennt eine vorhandene Schwangerschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von 98%.
In anderen Worten:Wenn die Frau tatsächlich schwanger ist, dann erkennt der Test dies und ist deshalb positiv mit einer Wahrscheinlichkeit von 98%. Daher lautet hier die Bedingung „tatsächlich schwanger“ S und wird als Index tiefergestellt.
Im Text heißt es außerdem:
Leider ist er (der Test) mit 5% Wahrscheinlichkeit fälschlich positiv.
In anderen Worten:Wenn eine Frau nicht schwanger ist, reagiert der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fälschlicherweise positiv. (Er zeigt also eine Schwangerschaft an, obwohl die Frau gar nicht schwanger ist.) Die Bedingung ist in diesem Fall „in Wirklichkeit nicht schwanger“ 
und wird daher als Index tiefergestellt.
Im Text steht desweiteren:
Zeigt Femina ein positives Ergebnis, ist eine Frau mit 80% Wahrscheinlichkeit tatsächlich schwanger.
In anderen Worten:Wenn der Test positiv ist, dann ist die Frau mit 80% Wahrscheinlichkeit tatsächlich schwanger. Daher lautet hier die Bedingung P „positiv“.
Gesucht ist das Risiko für eine Frau bei diesem Test doch schwanger zu sein, obwohl der Test negativ war.
