Hauptnenner

Beispiel:

Ermittle den Hauptnenner der Brüche und !

Lösung:

Wir zerlegen jeden Nenner in Primfaktoren bzw. schreiben die Faktoren, die x enthalten, als Produkte!

1. Nenner:       

2. Nenner:       

3. Nenner:       

4. Nenner:       

Den Hauptnenner finden wir nun folgendermaßen:Wir beginnen mit dem kleinsten vorkommenden Primfaktor und schauen, bei welchem Nenner dieser Faktor am häufigsten auftritt. So oft muss dieser Primfaktor im Hauptnenner vorkommen. In diesem Fall ist der kleinste vorkommende Primfaktor die Zahl 2. Sie tritt im 3. Nenner am häufigsten auf, nämlich dreimal. Deshalb muss die Primfaktorzerlegung des Hauptnenners die Zahl 2 dreimal enthalten.

Hauptnenner:

Nun geht es weiter mit dem nächstgrößeren Primfaktor, der vorkommt. Hier ist das die Zahl 3. Sie kommt im 4. Nenner am häufigsten vor, nämlich zweimal. Daher muss die Zahl 3 in der Primfaktordarstellung des Hauptnenners zweimal vorkommen.

Hauptnenner:

Andere Primfaktoren treten hier nicht mehr auf, also geht es weiter mit den Faktoren, die x enthalten. Der Faktor x tritt im 1. Nenner am häufigsten auf, nämlich zweimal. Daher muss die Primfaktorzerlegung des Hauptnenners den Faktor x zweimal enthalten.

Hauptnenner:

Nun noch zum letzten auftretenden Faktor x – 1. Dieser Faktor kommt im 2. Nenner am häufigsten vor, nämlich zweimal (wegen dem Quadrat bei der Klammer). Der Hauptnenner muss in seiner faktorisierten Form den Faktor x – 1 also zweimal enthalten.

Hauptnenner:

So, das ist nun unser gesuchter Hauptnenner in faktorisierter Form (d.h. in Produktform), also noch nicht ausmultipliziert und zusammengefasst. Damit es etwas übersichtlicher aussieht, schreiben wir noch alles mit Potenzen und rechnen die Zahlen noch aus. (Das hätte man übrigens auch bei der Primfaktorzerlegung schon machen können.)

Hauptnenner der Brüche und :

Diese Methode ist natürlich sehr aufwendig, aber du kannst daran sehen, dass du einen Faktor im Hauptnenner nur so oft brauchst, wie er am häufigsten in einem der Nenner auftritt. Auch wenn er  in einem anderen Nenner noch einmal auftritt, brauchst du ihn nicht noch ein weiteres Mal. Beispielsweise kommt im Hauptnenner  nur vor und nicht etwa oder . Das x aus dem 2. Nenner bzw. aus dem 4. Nenner steckt praktisch schon im des 1. Nenners mit d´rin. Daher reicht es als Faktor des Hauptnenners zu verwenden. Das Selbe gilt für den Faktor des 3. Nenners. Dieser Faktor steckt auch schon im Nenner des 2. Bruchs mit d´rin. Daher reicht es aus im Hauptnenner zu verwenden;es ist nicht nötig zu verwenden.

Hoffentlich ist dir nun klar geworden, wie du den Hauptnenner finden kannst. Du wirst das noch oft machen müssen, denn nicht nur beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen, sondern auch um Bruchgleichungen zu lösen, benötigt man oft den Hauptnenner. Weitere Beispiele findest du auch im Bereich Algebra im Kapitel Bruchterme.

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