Faktorisierter Funktionsterm
Die Gleichung 
ist nur für 
und 
erfüllt.(Vergleiche dazu die oben gezeigte Rechnung mit der Mitternachtsformel!)
Die Gleichung 
ist ebenfalls nur für 
und 
erfüllt. Erinnere dich dazu an die Regel:„Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist.“ Die erste Klammer wird Null, wenn man für x = 
einsetzt;die zweite Klammer wird Null, wenn man für x = 
einsetzt. Daher wird das Produkt 
gleich Null, wenn oder eingesetzt wird.
Die beiden Gleichungen und besitzen also die gleichen Lösungen, nämlich und . Du erkennst, dass bei der faktorisierten Form in den Klammern hinter dem x jeweils die Lösungen der Gleichung aber mit umgedrehtem Vorzeichen stehen. Hätte man bei der Faktorisierung in den Klammern hinter x nicht genau die Lösungen mit umgedrehtem Vorzeichen geschrieben, hätte man eine Gleichung erhalten, die nicht mehr die selben Lösungen hat, die also auch nicht äquivalent zur gegebenen Gleichung sein kann.
Dies ist der Grund, warum bei der Faktorisierung in den Klammern hinter x immer die Lösungen der Gleichung geschrieben werden müssen.
Damit die Gleichungen und beide die selben Lösungen haben, mussten wir bei der Faktorisierung die Lösungen der ersten Gleichung nehmen und jeweils mit umgedrehten Vorzeichen hinter x in die Klammern schreiben. Warum mussten wir aber bei der Faktorisierung die Linearfaktoren auch noch mit dem Faktor 2 multiplizieren?
Der Faktor 
ist nötig, damit sich beim Ausmultiplizieren des Terms 
wirklich 
ergibt. Die Gleichung 
hätte zwar auch dieselben Lösungen wie die Gleichung nämlich und . Wenn man 
ausmultipliziert, ergibt sich jedoch:
Ohne den Faktor erhalten wir also nicht den Term 
! Das ist der Grund, warum die Linearfaktoren immer noch mit der Zahl vor der höchsten Potenz von x multipliziert werden müssen.
Hinweise zum Faktorisieren:
Jeder Term der Form 
lässt sich auch in der Form 
schreiben, wenn 
und 
die Lösungen der Gleichung 
sind. Hat die Gleichung keine Lösung, so lässt sich der Term nicht faktorisieren.
Beim Faktorisieren wird die Zahl a (Zahl vor der höchsten x-Potenz) einfach abgeschrieben und vor die Linearfaktoren gesetzt. Achtung:Die Linearfaktoren müssen also immer mit a multipliziert werden! Das wird anfangs leider sehr oft vergessen.
Bei den berechneten Lösungen 
wird jeweils das Vorzeichen umgedreht, wenn man sie in den einzelnen Klammern hinter das x schreibt! Das kommt daher, dass in der Formel 
ein Minus-Zeichen vor dem und dem steht.
