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Punktprobe: Liegt der Punkt P in der Ebene E?

Geg.: P( ) E:

Liegt die Ebene E in Parameterform vor und du sollst überprüfen, ob der Punkt P in der Ebene E liegt, machst du die sogenannte Punktprobe. Du kennst vermutlich bereits die Punktprobe, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt. Vergleiche dazu Punktprobe:Liegt der Punkt P auf der Gerade g? Bei der Überprüfung, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, die in Parameterform gegeben ist, gehst du ähnlich vor:

Ø Punkt für x in die Parametergleichung der Ebene einsetzen

Ø Jede der drei Zeilen als einzelne Gleichung schreiben

Ø Vorerst eine der drei Gleichungen weglassen und mit den verbleibenden zwei Gleichungen die beiden Parameter berechnen

Ø In die zuerst weggelassene Gleichung die ermittelten Werte für beide Parameter zugleich einsetzen

Ø Ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3) liegt der Punkt in der Ebene, ergibt sich dagegen ein Widerspruch (z.B. 2 = 6) liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Anmerkung:Es dauert relativ lange, mit der Parameterform einer Ebene die Punktprobe durchzuführen. (Das wirst du gleich am folgenden Beispiel sehen.) Wenn du bereits die Koordinatenform von Ebenen gelernt hast, empfiehlt es sich, von der Parameterform in die Koordinatenform der Ebene umzurechnen. Mit der Koordinatenform ist es ganz einfach zu überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt. Siehe Koordinatenform!

1. Bsp.: Überprüfe, ob die Punkte P(-7| 8| -11) und Q(2| 3| -1) in der Ebene E liegen!

Lösung:

Wie oben beschrieben machen wir die Punktprobe nacheinander mit beiden Punkten. wir beginnen mit Punkt P.

P E ?

II.

III.

Durch das Einsetzen von P für X und das Aufteilen in drei einzelne Gleichungen, erhalten wir ein überbestimmtes Gleichungssystem, d.h. drei Gleichungen für nur zwei Unbekannte, also eigentlich eine Gleichung zu viel. Wie bereits in der Anleitung für die Punktprobe beschrieben, lassen wir deshalb vorerst eine der drei Gleichungen weg. Wir entscheiden uns dafür, die Gleichung III. erst einmal wegzulassen, und ermitteln dann nur mit den verbliebenen Gleichungen I. und II. die beiden Parameter und . Dafür kann sowohl das Additionsverfahren als auch das Einsetzungsverfahren verwendet werden;das ist Geschmackssache. Hier soll nur das Additionsverfahren vorgeführt werden. Es soll der Parameter eliminiert werden. Dazu multiplizieren wir die Gleichung II. mit dem Faktor 2 und subtrahieren das Ergebnis von I.

II. |

II.

I. II. |

Nun setzt man in eine der Gleichungen I. oder II. ein, um zu erhalten. (Achtung:Auf keinen Fall darf in die vorerst weggelassene Gleichung III. eingesetzt werden, um zu berechnen! III. darf erst zur Kontrolle am Ende der Rechnung benützt werden.) Wir setzen nun in die Gleichung II. ein. Man hätte natürlich genauso gut I. verwenden können.

in II.

Nachdem jetzt und ermittelt sind, folgt die Kontrolle. Man setzt dazu und gleichzeitig in die zuvor weggelassene Gleichung III. ein. Wenn sich eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.

Kontrolle: und in III.

(wahr) P E

Da sich bei der Kontrolle eine wahre Aussage ergibt, liegt P in der Ebene E.

Entsprechend verfahren wir nun mit dem zweiten Punkt Q.

Hier noch einmal die Angaben:

Q(2| 3| -1) E:

Q E ?

II.

III.

Wir lassen wieder III. vorerst weg und berechnen mit I. und II. die beiden Parameter und .

II. |

II.

I. II. |

Nun wird in I. oder II. eingesetzt, um zu ermitteln. Wir nehmen Gleichung II.

in II.

Als Letztes kommt wieder die Kontrolle, d.h. beide Parameter in die vorher weggelassene Gleichung einsetzen.

Kontrolle: und in III.

(Widerspruch) Q E

Da sich bei der Kontrolle ein Widerspruch ergibt, liegt Q nicht in der Ebene E.

2. Bsp.:Die Punkte A(-7| a| 10) und B(b| b – 3| 3b) liegen in der Ebene E.

Ermittle die Koordinaten der Punkte A und B nur mit Hilfe der Parameterform der Ebene E (ohne Umrechnung in die Koordinatenform der Ebene)!

Lösung:

Der Punkt A(-7| a| 10) soll in der Ebene E liegen. Um a zu berechnen, setzen wir die Koordinaten von A für X in die Ebenengleichung ein. Dann schreiben wir jede Zeile als einzelne Gleichung. So erhalten wir ein Gleichungssystem, bestehend aus drei Gleichungen und den drei Unbekannten a, und . Es lässt sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren lösen. (Wenn es dir leichter fällt, kannst du natürlich auch das Einsetzungsverfahren verwenden. Das dauert aber länger und ist deshalb nicht wirklich empfehlenswert.)

A in E:

I. |

II.

III. |

II.

III.

In den Gleichungen I. und III. kommt a nicht vor, sondern nur die Unbekannten und . Das macht uns das Lösen des Gleichungssystems wesentlich leichter. Wir eliminieren nun außerdem , indem wir die Gleichung III. mit dem Faktor 4 multiplizieren und dann von I. subtrahieren. (Weil in I. bereits die Zahl 4 vor steht, multiplizieren wir III. mit dem Faktor 4. Durch Subtraktion der beiden Gleichungen fällt dann weg und kann berechnet werden.) Wir ermitteln also zuerst mit den Gleichungen I. und III. die Unbekannten und . Danach setzen wir die ermittelten Werte für und in II. ein, um a zu berechnen.

III. |

III.

I. – III. |

in III.

und in II.

Der Punkt A hat die Koordinaten A(-7| -3| 10).

Nun verfahren wir entsprechend mit Punkt B(b| b – 3| 3b). Wir setzen ihn für x in die Gleichung der Ebene E ein.

Hier noch einmal die Angabe: E:

B in E:

II. |+ 3

III.

II.

III.

Es liegt ein Gleichungssystem, bestehend aus drei Gleichungen und den drei Unbekannten b, und vor. Es lässt sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren lösen. (Wenn es dir leichter fällt, kannst du natürlich auch das Einsetzungsverfahren verwenden. Das dauert aber länger und ist deshalb nicht wirklich empfehlenswert.) Es bietet sich an, die beiden Gleichungen I. und II. zu subtrahieren, um b zu eliminieren. So entsteht eine Gleichung, die nur noch und enthält. Um und berechnen zu können, brauchen wir aber noch eine weitere Gleichung, die kein b mehr enthält. Man erhält so eine Gleichung, indem man beispielsweise die Gleichung II. mit dem Faktor 3 multipliziert und dann Gleichung III. davon subtrahiert.

I. – II. Wir nennen diese Gleichung IV.

II.

III.

II. – III. |+ 5

in IV.

und in I.

in B(b| b – 3| 3b) B(3| 0| 9)

Anmerkung:Man hätte diese Aufgabe natürlich wesentlich einfacher lösen können, wenn die Ebene in ihre Koordinatenform umgerechnet hätte werden dürfen. Es sollte an diesem Beispiel nur gezeigt werden, wie das auch ohne Verwendung der Koordinatenform funktioniert. Im Normalfall rechnest du die Ebene aber besser um und setzt dann die Punkte einfach in die Koordinatenform der Ebene ein. Wie das genau gemacht wird, kannst du im Kapitel Koordinatenform einer Ebene nachlesen.