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Schwierigere Variante der Substitution

Wir greifen ´mal wieder tief in die mathematische Trickkiste und verwenden folgende zwei Formeln:

Statt im Nenner des Integranden schreiben wir . Statt der Zahl 1 im Zähler des Integranden schreiben wir .

Nun denkst du dir vermutlich, dass das nun vorliegende Integral ja noch viel komplizierter ist als das schöne kleine Integral von vorher. Aber in Wirklichkeit lässt sich das neue Integral mit der Formel gut lösen. Die Frage ist nur, wie diese Formel hierbei weiter hilft. Leite doch schnell den Nenner des Integranden ab und vergleiche mit dem Zähler!

Passt das bereits? Leider nein, denn ein Vorzeichen stimmt nicht. Die Ableitung des Nenners ist nämlich und nicht . Die Ableitung des Nenners ist auch kein Vielfaches des Zählers. Damit es das Minus-Eins-fache wäre, müsste nämlich sowohl vor dem Sinus als auch vor dem Kosinus ein Minuszeichen stehen.

Du hast Probleme beim Ableiten von ?

Ok, dann machen wir das gemeinsam! Wir brauchen einerseits die Produktregel, da die Variable t in beiden Faktoren des Produkts auftritt, und andererseits die Kettenregel, da sowohl der erste Faktor als auch der zweite Faktor eine verkettete Funktion ist. Die jeweils innere Funktion, also , muss daher nachdifferenziert werden.

Produktregel:

Wir müssen uns daher etwas anderes einfallen lassen, um das Integral zu lösen. Wir teilen den Integranden in zwei einzelne Brüche auf, kürzen dann jeweils so weit möglich und schon schaut die Sache besser aus.

Der Nenner des ersten Integrals ist ;mit der Kettenregel abgeleitet ergibt sich . Das ist, bis auf das Minus, der Zähler des ersten Integranden. Der Nenner des zweiten Integranden ist ;mit der Kettenregel abgeleitet ergibt sich . Das ist exakt der Zähler des zweiten Integranden. Bei beiden Integralen steht also im Zähler die Ableitung des Nenners bzw. das Minus-Eins-fache davon. Wir können beide Integrale mit der Formel lösen.

Du kannst jetzt entweder gleich die Grenzen einsetzen, oder noch ein wenig weiter rechnen, um eine etwas elegantere Stammfunktion zu erhalten. Man kann dazu folgende Umformungen vornehmen: