Einfachere Variante der Integration durch Substitution

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5. Schritt:Berechnung des Integrals

Die neue untere Grenze ist 1, die neue obere Grenze ist 7. Nun können wir endlich das Integral ausrechnen. Statt dem Exponenten schreiben wir t und statt dx schreiben wir .

Der Ausdruck lässt sich dabei komplett herauskürzen, so dass letztendlich kein x mehr im neuen Integral vorkommt. Das ist auch der Grund, warum die Ableitung oder ein Vielfaches davon bereits dastehen muss. Ansonsten könnte man nicht entsprechend kürzen und es verbliebe neben der neuen Variablen t auch noch die alte Variable x. Das würde nicht funktionieren. x muss sich komplett herauskürzen lassen, sonst klappt diese Methode der Integration nicht! Das ist jedoch immer der Fall, wenn ein Teil des Integranden ist. Daher musst du bei dieser Methode immer von Anfang an so wählen, dass die Ableitung davon schon im Integranden steckt.

Nun liegt ein Integral vor, das nur noch t, aber kein x mehr enthält;es ist leicht zu berechnen. Daran siehst du, dass die Substitution sinnvoll war. Bei der Integration mittels Substitution versucht man durch geeignete Substitution ein neues, deutlich einfacheres Integral mit der anderen Variable t zu erschaffen. Hier ist uns das durch die oben gezeigte Substitution gelungen. Wir müssen nur noch das neue Integral ausrechnen. Doch das dürfte kein Problem mehr für dich darstellen. Rechne es doch gleich alleine aus!

Du solltest auf folgendes Ergebnis gekommen sein:

Hinweis:Dieses Integral hätte auch mit der Formel berechnet werden können.

Zusammenfassung: Integration durch Substitution (einfache Variante) Integrale der Form können auf folgende Art und Weise gelöst werden: 1. Schritt:Geeignete Substitution durchführen Wähle so, dass die Ableitung oder ein Vielfaches davon bereits ein Faktor der zu integrierenden Funktion ist. In anderen Worten:Du musst so wählen, dass die Ableitung oder ein Vielfaches davon, z.B. das Doppelte oder Dreifache von , auch hinter dem Integral steht. 2. Schritt:Bilde und erweitere mit dem Ausdruck dx. 3. Schritt:Setze den erhaltenen Ausdruck gleich dt und löse nach dx auf. 4. Schritt:Berechnung der neuen Grenzen Setze die ursprünglichen Grenzen a und b in die Funktion ein. Neue untere Grenze: Neue obere Grenze: 5. Schritt:Berechnung des Integrals Verwende die neuen Grenzen an statt der ursprünglichen Grenzen, ersetze die innere Funktion durch t und dx durch . Kürze weg und löse das neue Integral.

Nun ein Beispiel eines unbestimmten Integrals, das mittels Substitution (einfache Variante) gelöst werden kann.

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