Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Man muss den Bruch vor der Integration ausdividieren;dann ergibt sich ein Ausdruck, der sich leicht integrieren lässt. Damit ist gemeint, dass du jeden Summanden des Zählers einzeln durch den gesamten Nenner teilen sollst. (Dieser Trick klappt bei allen gebrochenrationalen Funktionen, deren Nenner keine Summe oder Differenz ist.)

Jetzt liegt die Funktion in einer Form, in der sie sich leicht integrieren lässt. Ab jetzt kannst du bestimmt alleine weiterrechnen. Probiere es doch gleich, bevor du dir den Rest der Lösung anschaust!

Wenn du willst, kannst du noch ausklammern. Das ergibt:

Zu 4b.)

Hier noch einmal die Funktion, die integriert werden soll:

In dieser Form können wir die Funktion nicht integrieren. Wir formen sie deshalb vorher um. Dazu verwenden wir die Potenzgesetze:

Denk daran, dass die „normale Wurzel“ eigentlich die Quadratwurzel ist, also die zweite Wurzel ! Es gilt:

In dieser Form können wir die Funktion nun integrieren. So erhalten wir die gesuchten Stammfunktionen. (Der Plural „Stammfunktionen“ steht hier wegen der Konstante C. Je nach dem, was für C eingesetzt wird, ergeben sich schließlich viele verschiedene Stammfunktionen.)

Jetzt formen wir noch so um, dass keine Brüche oder negative Exponenten mehr vorkommen. Dazu brauchen wir die Potenzgesetze und .

Nun radizieren wir bei der vorderen Wurzel teilweise, d.h. wir ziehen teilweise die Wurzel.

Nebenrechnung:

Somit ergibt sich für die Stammfunktion(en) zu :

Zu 4c.)

Hier ist die Funktion zu integrieren. Vorher muss die Funktion jedoch erst auf eine geeignete Form gebracht werden. Dabei werden wieder die folgenden Potenzgesetze angewendet:

Danach muss der Bruch ausgerechnet werden, also jeder Summand einzeln durch den Nenner dividiert werden. Mit Hilfe der Potenzgesetze und wird die Funktion auf die zum Integrieren benötigte Form gebracht. Versuche das gleich selbst, ohne vorher die folgende Lösung anzuschauen!

Nun liegt die Funktion endlich in einer Form vor, die zum Integrieren geeignet ist. Wir arbeiten bei jedem Summanden mit der Formel . Das ergibt die gesuchten Stammfunktionen:

Mit dem Potenzgesetz  erhält man:

Wir radizieren bei noch teilweise:

Nebenrechnung:

Damit lauten die Stammfunktionen zu :

Du hast sicher gemerkt, dass nicht die Integration selbst das Problem ist, sondern vielmehr die nötigen Umformungen mit den Potenzgesetzen. Die Potenzgesetze musst du daher wirklich gut beherrschen, um gut integrieren zu können.

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