Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Es kommt natürlich darauf an, nach welcher Variablen integriert wird, ob die Variable x oder t oder ganz anders heißt. Meist wird die Variable mit x bezeichnet und es wird nach x integriert. Dann schreibt man bei der Integration einfach ein x hinter die Zahl. Ist die Variable aber t, dann wird natürlich nach t integriert und man schreibt ein t hinter die Zahl. Wenn zum Beispiel eine Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_104.png)
integriert werden soll, ergibt sich bei der Integration _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_105.png)
. (Es wurde dabei nach t integriert.)
Nun aber wieder zurück zu unserer Aufgabe.
Hier noch einmal die zu integrierende Funktion: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_98.png)
Integration nach x ergibt:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_106.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_106.png)
Kleiner Selbsttest, ob du das vorher Erklärte wirklich verstanden hast und anwenden kannst:
1. Frage:Was ergibt _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_107.png)
(nach u) integriert?
Richtige Antwort: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_107.png)
oder _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_108.png)
2. Frage:Was ergibt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_108.png)
(nach t) integriert?
Richtige Antwort: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_109.png)
oder _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_109.png)
Falls du die beiden Fragen nicht richtig beantworten konntest, solltest du dir den oberen Teil noch einmal aufmerksam durchlesen! Ansonsten weiter mit der nächsten Teilaufgabe.
Zu 3e.)
Hier noch einmal die Angabe: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_110.png)
Hinweis:Erst x in die Klammer hinein multiplizieren, dann integrieren!
Bevor du dir die Lösung anschaust, bitte die Teilaufgabe selbständig rechnen!
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_111.png)
Integration liefert:
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_111.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_112.png)
Wer möchte, kann noch _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_112.png)
ausklammern. Dann sieht die Stammfunktion etwas Schöner aus:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_113.png)
Zu 3f.)
Hier noch einmal die Angabe: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_113.png)
Ganz ähnlich wie die soeben gezeigte Teilaufgabe geht auch die Integration dieser Funktion, nur dass die Variable nun t heißt. Wir müssen also nach t integrieren. Bevor wir aber integrieren können, muss vorweg die Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_114.png)
quadriert werden und außerdem t in die Klammer hinein multipliziert werden.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_115.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_115.png)
Nun kann die Funktion integriert werden.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_116.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_116.png)
Du hast nun hoffentlich verstanden, wie man einfachere Funktionen integriert. Weiter geht es mit etwas anspruchsvolleren Aufgaben, die sich aber trotzdem mit den bisher besprochenen Integrationsregeln lösen lassen.
4. Bsp.:
Bestimme jeweils die Stammfunktionen der folgenden Funktionen!
a.) _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_117.png)
b.) _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_117.png)
c.) _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_118.png)
Lösung:
Zu 4a.)
Um die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_118.png)
integrieren zu können, müssen wir sie erst umformen. Du darfst nämlich auf keinen Fall den Zähler und den Nenner einzeln integrieren und die Stammfunktion des Zählers durch die des Nenners dividieren! (Wenn du die Funktion ableiten wolltest, müsstest du schließlich die Quotientenregel anwenden, d.h. du dürftest auch nicht einfach Zähler und Nenner einzeln ableiten und die Zählerableitung durch die Nennerableitung dividieren.) Leider gibt es keine Integrationsregel für Quotienten;wir müssen uns daher etwas anderes einfallen lassen.
