Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_91.png)
Die Zahlen lassen sich noch kürzen. Das ergibt die gesuchte Stammfunktion in vereinfachter Form.
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Kontrolliere das Ergebnis, indem du die Stammfunktion G(x) ableitest. Es kommt natürlich wieder _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_92.png)
heraus. Für eine Stammfunktion G(x) zu gilt schließlich: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_93.png)
Dadurch müsste dir nun auch klar werden, warum –1 (nach x) integriert –x ergibt. Wenn man –x ableitet, kommt bekanntlich –1 heraus. Deshalb muss umgekehrt –1 (nach x) integriert wieder –x ergeben. Heißt die Variable ausnahmsweise nicht x, sondern beispielsweise t, dann muss natürlich nicht nach x, sondern nach t integriert werden. –1 ergäbe (nach t) integriert –t.
Zu 3c.)
Die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_93.png)
soll integriert werden. Bevor du integrieren kannst, musst du aber unbedingt _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_94.png)
in die Klammer hinein multiplizieren. Den Bruch kannst du dagegen außerhalb der Klammer stehen lassen.
Wichtig:Du darfst erst beginnen zu integrieren, wenn alle Faktoren mit x ausmultipliziert sind. Eine Zahl ohne x darf noch außerhalb der Klammer stehen. Denn Zahlen ohne x, die mit etwas multipliziert werden, bleiben beim Integrieren einfach stehen. Also los geht´s! Gleich selber ausprobieren!
Zu deiner Kontrolle hier der vollständige Lösungsweg:
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_94.png)
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Integration ergibt die Stammfunktion:
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_95.png)
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Wer mag, kann noch den Faktor _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_96.png)
ausklammern. Wie das geht? Ganz einfach:Man muss in der Klammer mit 6 multiplizieren, denn ausklammern bedeutet ja nichts anderes, als durch die Zahl zu teilen, die man ausklammern will. Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Daher muss man beim Ausklammern von in der Klammer mit 6 multiplizieren.
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Zu 3d.)
Es soll die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_98.png)
integriert werden. Das ist nicht schwer! Es handelt sich schließlich um eine Summe und daher darf jede einzelne Potenz von x für sich genommen integriert werden. Die Zahlen vor den x-Potenzen schreibst du beim Integrieren einfach ab.
Nur Vorsicht bei der Zahl _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_99.png)
! Beim Ableiten würde sie wegfallen, doch wir sind gerade beim Integrieren/ „Hochleiten“. Beim Integrieren musst du dich praktisch fragen, welche Funktion I(x) abgeleitet _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_99.png)
ergibt. Wie muss also eine Funktion aussehen, damit ihre Ableitung ist?
Bitte erst mal selbst nachdenken!
Sicherlich bist du darauf gekommen, dass _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_100.png)
abgeleitet genau ergibt. Umgekehrt ergibt integriert .
Das hättest du natürlich ebenso mit der Integrationsformel _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_90.png)
herausfinden können. Dazu hättest du dir nur die Zahl als x-Potenz _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_103.png)
denken müssen. Mit der Integrationsregel kommst du dann wieder auf _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_104.png)
. Diese Methode ist aber recht umständlich. Besser merkst du dir für die Zukunft: Eine Zahl ohne x, welche addiert oder subtrahiert wird, integriert man, indem man einfach die Variable (meist x) hinter die entsprechende Zahl schreibt.
