Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Auch die Integration verketteter (verschachtelter) Funktionen stellt ein besonderes Problem dar, das wir im Moment noch nicht behandeln wollen. (Näheres dazu im Teil Weitere Integrationsregeln)
Nun schauen wir uns einige weitere konkrete Beispiele an. Versuche die Aufgaben immer erst alleine zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust!
3. Bsp.:
Integriere die folgenden Funktionen!
a.) _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_78.png)
b.) _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_79.png)
c.) _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_79.png)
d.) _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_80.png)
e.) _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_80.png)
f.) _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_81.png)
Lösung:
Zu 3a.)
Die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_81.png)
soll integriert werden. Da es sich um eine Summe bzw. Differenz handelt, darf jeder Summand einzeln integriert werden. Damit dir die Integration leichter fällt, schreiben wir die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_82.png)
vorher noch etwas ausführlicher: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_82.png)
In dieser Form kannst du _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
bestimmt alleine integrieren, d.h. die Stammfunktion selbst finden. Die Zahlen 8, -6 und 3 musst du dabei einfach abschreiben;es sind ja multiplikative Konstanten. Bei der Potenz von x musst du zum Exponenten 1 dazuzählen und außerdem durch die Zahl teilen, die den neuen Exponenten bildet.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_83.png)
Nun vereinfachen wir die Stammfunktion noch so weit möglich:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_84.png)
Zu 3b.)
Wir sollen die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_84.png)
integrieren. Was würdest du tun? Eventuell den Faktor _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_85.png)
in die Klammer hineinmultiplizieren? Das wäre zwar nicht falsch, doch ergäben sich dadurch viele scheußliche Brüche und du rechnest bestimmt nicht so gerne mit Brüchen. Die Zahl sollte besser außerhalb der Klammer stehen gelassen werden. ist hier schließlich eine multiplikative Konstante und solche Konstanten bleiben beim Integrieren einfach stehen. (Vorsicht:Das geht nur, weil kein x bei dabei steht. Hätte die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_87.png)
gelautet, hättest du unbedingt das x in die Klammer hineinmultiplizieren müssen, damit du korrekt integrieren kannst! Nur Zahlen ohne x brauchst du nicht in die Klammer hinein multiplizieren, bevor du integrierst.)
Jetzt probiere es doch gleich selbst! Wenn du auf das nachfolgende Ergebnis gekommen bist, hast du alles richtig gemacht.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_87.png)
Zu schnell? Ok, dann noch einmal ganz langsam. Zuerst denkst du dir an Stelle von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_88.png)
besser _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_88.png)
und statt der Zahl _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_89.png)
den Term _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_89.png)
. (Zur Erinnerung: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_90.png)
) Dann kannst du bequem mit der Regel _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_90.png)
integrieren. In Worten:Bei jeder x-Potenz zum Exponenten jeweils 1 dazu zählen und dann noch durch den neuen Exponenten teilen. Die Zahlen, die vor den x-Potenzen stehen, schreibst du dabei einfach ab. Es sind schließlich multiplikative Konstanten. Du darfst jeden Summanden einzeln integrieren. Deshalb kannst du jede Potenz von x einzeln mit unserer Regel integrieren. Merke:Bei Plus oder Minus darf einzeln integriert werden, nicht aber bei Mal oder geteilt!
