Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Als letztes setzen wir noch den soeben berechneten Wert in ein. Dadurch ergibt sich die gesuchte Stammfunktion:

Inzwischen ist dir die Integrationsregel hoffentlich geläufig. Schauen wir uns noch die Sonderfälle und an.

Zusammenfassung: Allgemein:

Nun willst du sicher auch noch wissen, wie man denn zu komplizierteren Funktionen eine Stammfunktion findet. Daher gleich noch einige, weitere grundlegende Integrationsregeln.

Multiplikative Konstanten (= Zahlen, die mit etwas multipliziert werden oder durch die dividiert wird) müssen beim Integrieren einfach abgeschrieben werden;nur der Rest wird integriert. Genau dies besagt die sogenannte Faktorregel: Das kommt daher, dass beim Ableiten multiplikative Konstanten ebenfalls stehen bleiben. Deshalb muss es umgekehrt beim Integrieren genauso sein:Zahlen, die mit etwas multipliziert werden oder durch die dividiert wird, bleiben beim Integrieren stehen.

Du weißt bestimmt:Soll eine Summe oder Differenz abgeleitet werden, darf jeder Summand einzeln abgeleitet werden. Deshalb muss bei der Integration von Summen bzw. Differenzen entsprechendes gelten. Summen und Differenzen dürfen einzeln, Summand für Summand integriert werden.

Aber Vorsicht:Produkte, die in mehreren Faktoren x enthalten, dürfen keinesfalls Faktor für Faktor einzeln integriert werden! Beim Ableiten von Produkten braucht man umgekehrt schließlich die Produktregel, d.h. man darf auch nicht einzeln Faktor mal Faktor ableiten. Daher leuchtet es dir sicher ein, dass du bei Produkten immer erst ausmultiplizieren musst, bevor du integrieren kannst. Nur multiplikative Konstanten (= Zahlen ohne x, mit denen multipliziert wird) brauchst du nicht in die Klammer hinein multiplizieren;du darfst solche Zahlen auch außerhalb der Klammer stehen lassen, wenn du integrierst. Alle anderen Faktoren aber immer vor dem Integrieren vollständig ausmultiplizieren! (Es gibt zwar auch eine Art „Produktregel zum Integrieren“, die sogenannte partielle Integration, doch das ist nicht so einfach und wird erst im Teil Weitere Integrationsregeln behandelt. Für Gymnasiasten und Schüler einer nicht-technischen FOS/BOS steht die partielle Integration auch gar nicht auf dem Lehrplan. Nur Schüler des mathematisch-technischen Zweiges der FOS/BOS müssen das im Abitur beherrschen.)

Auch Quotienten, die x im Nenner enthalten, dürfen nicht einzeln im Zähler und Nenner integriert werden. Entweder man rechnet den Quotienten vor der Integration aus, d.h. man teilt jeden Summand des Zählers einzeln durch den gesamten Nenner oder man muss sich etwas anderes einfallen lassen, um einen Bruch mit x im Nenner zu integrieren. Einfache Aufgabenbeispiele werden im Folgenden vorgeführt, schwierigere Aufgaben folgen erst im Teil Weitere Integrationsregeln.

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