Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Jetzt setzen wir noch drei verschiedene Zahlen für C ein und schon sind wir fertig. Nehmen wir dieses Mal doch 0, 4 und -4.

Bei dieser Aufgabe war es eigentlich völlig egal, wie man C festgelegt hat, da wir schließlich nicht mit der Stammfunktion weiterrechnen mussten und wir außerdem keine weiteren Informationen über F(x) hatten. Im folgenden 2. Beispiel sieht das anders aus. Dabei muss die Konstante C wirklich berechnet werden und darf nicht einfach frei gewählt werden, weil noch eine zusätzliche Information über F(x) vorhanden ist.

2. Bsp.:

Ermittle die Gleichung derjenigen Stammfunktion F(x) zu , die durch den Punkt verläuft!

Lösung:

Zuerst müssen wir in einem ersten Schritt die Stammfunktion in Abhängigkeit von C ermitteln. Das bedeutet, dass wir vorab ganz normal integrieren und einfach „+ C “ dazu schreiben. In einem zweiten Schritt wird dann die Konstante C so berechnet, dass F(x) durch den angegebenen Punkt verläuft. Dazu setzt man die Koordinaten von P für x und y in die vorher ermittelte Gleichung von F(x) ein. Dabei entspricht F(x) der y- Koordinate.

1. Schritt:Ermittlung der Stammfunktion in Abhängigkeit von C

Du musst die Funktion mit Hilfe des Potenzgesetzes umformen, damit du sie integrieren kannst. Dann lässt sich die Integrationsregel anwenden. Versuche das gleich selbständig!

Zu deiner Kontrolle folgt natürlich der komplette Rechenweg:

Dir sind die einzelnen Umformungsschritte nicht ganz klar? Ok, dann noch einmal ganz langsam.

Warum gilt ?

Ganz einfach:Man teilt durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Daher dividiert man durch , indem man mit multipliziert.

Nun zur letzten Umformung von oben :

Das Problem ist die Umformung von . Wir machen das mal ganz langsam mit einigen Zwischenschritten. Statt kann man natürlich auch schreiben. Dann wenden wir das Potenzgesetz an.

Statt kann man dann die dritte Wurzel schreiben. So ergibt sich:

Hinweis:Auch die folgende Umformung wäre korrekt:

Für gilt:

Doch lässt sich nachher mit vor allem im Kopf besser weiterrechnen als mit . Daher schreiben wir die Stammfunktion in der Form . (Wenn du nachher beim Einsetzen der Koordinaten von sowieso den Taschenrechner verwendest, ist es egal, ob du oder schreibst.)

2. Schritt:Berechnung von C , so dass F(x) durch verläuft

Wir setzen die Koordinaten des Punktes in ein und lösen nach C auf. Für x wird also die Zahl 8 und für F(x) die Zahl 3 eingesetzt.

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