Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Man kann also von der Symmetrie der Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_453.png)
immer auf die Symmetrie der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_199.png)
schließen, aber im Allgemeinen nicht umgekehrt. Der Umkehrschluss von f auf F funktioniert bloßbei der Achsensymmetrie von f zur y-Achse und bei der Punktsymmetrie von f zum Ursprung oder einem Punkt auf der y-Achse _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_481.png)
. Das haben wir oben schon besprochen. Ist die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
jedoch achsensymmetrisch zu einer beliebigen senkrechten Gerade _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_477.png)
oder punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_475.png)
, kann nicht automatisch auf eine Symmetrie der Stammfunktionen F(x) geschlossen werden. Daher Vorsicht:Aus der Symmetrie von lässt sich nicht generell die Symmetrie von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
folgern.
Beispiel:
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_484.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_373.png)
punktsymmetrisch zum Punkt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_485.png)
Hinweis:Der Graph entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_486.png)
um 2 nach rechts und um 3 nach oben. (Ausführlichere Erklärungen im Kapitel:Funktionen spiegeln, verschieben, stauchen oder strecken) Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da sie nur eine ungerade Potenz von x enthält. Da punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss auch die verschobene Funktion punktsymmetrisch sein. Weil um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben wurde, liegt der Symmetriepunkt von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_92.png)
bei .
Die Funktion lässt sich in der oben gegebenen Form nicht so gut integrieren. Wenn man die Klammer jedoch hoch drei nimmt und so weit möglich zusammenfasst, ergibt sich:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_490.png)
In dieser Form lässt sich leicht eine Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_490.png)
ermitteln. Probiere es gleich mal selbst! Du solltest auf folgendes Ergebnis kommen:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_491.png)
An der Funktionsgleichung von lässt sich ein eventuelles Symmetrieverhalten zwar nicht erkennen, aber an den Funktionsgraphen (siehe Abbildung unten!) erkennt man eindeutig, dass keine Symmetrie aufweist! Obwohl punktsymmetrisch zum Punkt ist, ist nicht achsensymmetrisch zur Gerade _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_354.png)
. ist überhaupt nicht symmetrisch!
Die Graphen von und mit _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_496.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_496.png)
sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_497.png)
Abb.:Der Graph der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_497.png)
und die Graphen dreier Stammfunktionen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_498.png)
, _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_498.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_499.png)
Die Graphen _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_499.png)
, _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_500.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_500.png)
der Stammfunktionen , und gehen durch Verschiebung entlang der y-Achse nach oben bzw. unten auseinander hervor.
Obwohl der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_502.png)
der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt P(2|3) ist, sind die Graphen der Stammfunktionen offensichtlich nicht symmetrisch!
Des Weiteren sind in der Abbildung oben die allgemeinen Zusammenhänge der Graphen von und deutlich zu erkennen. Mache sie dir noch einmal bewusst. Zum Beispiel haben die Graphen der Stammfunktionen genau an derjenigen Stelle eine waagrechte Tangente, wo der Graph der Funktion seine Nullstelle hat. Wo unterhalb der x-Achse verläuft, sind die Graphen der Stammfunktionen streng monoton fallend. Wo oberhalb der x-Achse verläuft, sind die Graphen der Stammfunktionen streng monoton steigend.
