Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Umgekehrt lässt sich auch aus der Achsensymmetrie zur y-Achse der Stammfunktion die Punktsymmetrie zum Ursprung von folgern.

achsensymmetrisch zur y-Achse ⇔ punktsymmetrisch zum Ursprung

Beachte den Doppelpfeil „⇔“ ! Er bedeutet, dass die Folgerung in beide Richtungen stimmt. Von der linken Aussage kann man auf die rechte schließen und umgekehrt ebenso von der rechten auf die linke. Man kann also von der Achsensymmetrie zur y-Achse der Stammfunktion auf die Punktsymmetrie zum Ursprung von schließen und umgekehrt von der Punktsymmetrie zum Ursprung von auf die Achsensymmetrie zur y-Achse der Stammfunktion .

Beispiele:

Abb.:Graph der zur y-Achse symmetrischen Stammfunktion und Graph der zugehörigen zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion

Aber Vorsicht:Aus der Achsensymmetrie zur y-Achse von , kann man nicht generell die Punktsymmetrie zum Ursprung von folgern. Wenn achsensymmetrisch zur y-Achse ist, weil nur gerade Potenzen enthält, ist punktsymmetrisch, aber nicht immer zum Ursprung, sondern zum Punkt . Da um C nach oben oder unten verschoben sein kann, ist der Symmetriepunkt entsprechend auch um C nach oben oder unten verschoben und ist deswegen nicht immer der Ursprung. Die y-Koordinate des Symmetriepunktes entspricht vielmehr genau der Konstante C. Der Symmetriepunkt der Stammfunktion ist nur dann der Ursprung, wenn C = 0 gilt.

Umgekehrt kann man jedoch aus der Punktsymmetrie zum Ursprung von eindeutig die Achsensymmetrie zur y-Achse von folgern.

punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur y-Achse

achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Punkt

Beachte jeweils den einfachen Pfeil „ “ ! Dieser Pfeil bedeutet, dass von der linken auf die rechte Aussage geschlossen werden kann, aber nicht unbedingt von der rechten auf die linke.

Beispiele:

Eine Funktion kann aber nicht nur achsensymmetrisch zur y-Achse sein, sondern auch zu einer anderen senkrechten Gerade. Bei der Punktsymmetrie muss, wie gesagt, auch nicht immer genau der Ursprung Symmetriepunkt sein;eine Funktion kann zu einem beliebigen Punkt punktsymmetrisch sein. Dann liegt zwar keine Symmetrie zum Koordinatensystem vor, aber eine allgemeine Symmetrie. Generell gilt:Ist punktsymmetrisch zum Punkt , so ist achsensymmetrisch zur Gerade . (Die Gleichung beschreibt eine senkrechte Gerade, die die x-Achse bei a schneidet.) Umgekehrt lässt sich allgemein leider nicht sagen, dass immer punktsymmetrisch zu ist, wenn achsensymmetrisch zur Gerade ist. Das kann sein, muss aber nicht.

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