Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln

Hast du inzwischen den Graph der Ableitungsfunktion skizziert? Wenn nicht, dann jetzt!

Jetzt willst du natürlich wissen, wie der Graph der Ableitungsfunktion wirklich aussieht.

Abb. 8.1a.) (Lösung 1. Teil)

Graph einer Funktion mit Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion

Außerdem soll in dasselbe Koordinatensystem der Graph derjenigen Stammfunktion zu gezeichnet werden, die durch den Punkt verläuft. (Achtung:Nicht der Graph einer Stammfunktion von , sondern der Graph einer Stammfunktion der Ableitungsfunktion ist gesucht!)

Leitet man die Funktion ab, fällt die additive Konstante (Zahl ohne x, die addiert wird) weg. Wenn man danach umgekehrt wieder integriert, kann man nicht mehr ohne weiteres auf die ursprüngliche additive Konstante C kommen. Alle Funktionen der Form haben die gleiche Ableitung . Daher stellen alle Funktionen der Form Stammfunktionen der Ableitungsfunktion dar.

Die Graphen aller Funktionen ergeben sich durch Verschiebung von nach oben oder unten. Die gesuchte Stammfunktion zu soll durch den Punkt verlaufen;also die y-Achse bei 2 schneiden. Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse im Punkt . So weißt du, wie viel du verschieben musst, um die gesuchte Stammfunktion von zu erhalten: muss um 4,5 – 2 = 2,5 nach unten verschoben werden. Jetzt kannst du den verlangten Graph der Stammfunktion von bestimmt zeichnen.

Die folgende Abbildung zeigt die komplette Lösung dieser Aufgabe.

Abb. 8.1b.) (Lösung komplett)

Graph einer Funktion mit Graph der Ableitungsfunktion und Graphder gesuchten Stammfunktion zu durch

Zusammenhang der Symmetrie von und bzw. von und

Vielleicht ist es dir an dem letzten Aufgabenbeispiel bereits aufgefallen, dass es einen Zusammenhang der Symmetrie von und und somit auch von und gibt. Das liegt daran, dass sich beim Integrieren die Exponenten alle um 1 erhöhen bzw. beim Ableiten um 1 erniedrigen. Hat beispielsweise nur ungerade Potenzen, dann hat die Stammfunktion nur gerade Potenzen, egal für welches C. Die additive Konstante C gilt nämlich als gerade Potenz von x, da man statt C auch schreiben könnte und Null ist eine gerade Potenz.

Du weißt, dass eine Polynomfunktion genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung ist, wenn ihre Gleichung nur ungerade Potenzen von x enthält, oder umgekehrt, dass sie achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn sie ausschließlich gerade Potenzen von x enthält.

Ist beispielsweise punktsymmetrisch zum Ursprung, sind alle Stammfunktionen zwangsläufig achsensymmetrisch zur y-Achse, egal für welches C. Wie kannst du dir das anschaulich vorstellen? Die additive Konstante C bewirkt nur eine Verschiebung um C nach oben oder unten, aber nicht etwa zur Seite. Die Verschiebung von nach oben oder unten ändert aber nichts an der Lage der Symmetrieachse von . Hat die y-Achse als Symmetrieachse, dann gilt dies auch für .

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