Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Die Integration der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_19.png)
stellt einen Sonderfall dar, den wir erst im Teil Weitere Integrationsregeln besprechen werden.
Manche Lehrer verwenden statt der oben gezeigten Formel die folgende, etwas abgewandelte Schreibweise. Beide Formeln sind absolut gleichbedeutend. Eine der beiden findest du sicher in deiner Formelsammlung bzw. Merkhilfe.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_20.png)
Verwende einfach diejenige Form der Formel, die dir persönlich einfacher erscheint. Den meisten Schülern fällt die obere Formel erfahrungsgemäßetwas leichter, da man zuerst zum Exponent 1 addiert und dann genau durch diesen neuen Exponenten teilt. Am besten schauen wir uns gleich ein paar konkrete Beispiele dafür an.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_21.png)
Statt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_21.png)
kannst du natürlich auch _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_22.png)
schreiben. Daran erkennt man nun auch deutlich, dass die beiden Formel zum selben Ergebnis führen. Solange bei Funktionen der Form _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_3.png)
der Exponent n eine natürliche Zahl ist, ist die Integration nicht schwierig und es völlig egal, welche der beiden Formeln angewendet wird.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_23.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_23.png)
Das Prinzip müsste dir jetzt bereits klar sein.
Kleiner Test, ob du es wirklich verstanden hast:Wie lautet die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_24.png)
?
Jetzt bitte erst ´mal selbst überlegen!
Richtige Antwort:Alle Funktionen der Form _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_24.png)
oder _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_25.png)
sind Stammfunktionen zu . Da jedoch nur nach einer (einzigen) Stammfunktion zu gefragt war, wäre es auch richtig gewesen, wenn du für die Konstante C eine konkrete Zahl eingesetzt hättest. Du hättest + C sogar ganz weglassen dürfen, denn dies entspricht dem Fall C = 0. Stammfunktionen zu sind schließlich alle Funktionen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_27.png)
deren Ableitung wieder _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
ergibt.
Mach´doch mal die Probe und leite ab! Du wirst natürlich feststellen, dass die Bedingung _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_28.png)
erfüllt ist:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_29.png)
Die Integrationsformel _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_29.png)
bzw. _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_30.png)
lässt sich aber nicht nur bei Funktionen der Form mit natürlichen Exponent n anwenden, sondern auch bei allen beliebigen reellen Exponenten _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_19.png)
. Der Exponent kann also auch ein Bruch oder eine negative Zahl sein;nur -1 darf der Exponent nicht sein.
Nach Anwendung der Potenzgesetze _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_31.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_32.png)
lassen sich mit Hilfe der gezeigten Integrationsformel sogar einfache Gebrochenrationale Funktionen(d.h. Funktionen mit x im Nenner) oder Wurzelfunktionen integrieren. Gerade dabei ist die Anwendung der Formel zu empfehlen. Von der zweiten Form ist bei Funktionen, die Brüche oder negative Zahlen als Exponenten haben, eher abzuraten.
1. Bsp.:
Ermittle jeweils drei verschiedene Stammfunktionen zu den folgenden Funktionen!
