Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_403.png)
Nur der in Abb. 7a.) gezeigte Graph kann daher zu einer Stammfunktion von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_337.png)
gehören. Damit ist die Aufgabe gelöst. Du bist hoffentlich selbst darauf gekommen.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_404.png)
Abb.:Der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_404.png)
und der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_405.png)
der zugehörigen Stammfunktion H gemeinsam dargestellt
Achtung:Bitte immer die Aufgabenstellung ganz genau lesen! In manchen Aufgaben soll nämlich auch eine bestimmte Stammfunktion der Ableitungsfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_213.png)
gebildet oder gezeichnet werden, also nicht eine Stammfunktion von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
. Jetzt denkst du dir wahrscheinlich:Die Stammfunktion von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln.png)
ist immer . Vorsicht:Das kann sein, muss aber nicht! ist natürlich eine Stammfunktion von , aber ist nicht die einzige Stammfunktion von . Was ist nämlich mit der Konstante C? Wenn man eine gegebene Funktion zuerst ableitet und dann wieder integriert, kann man nämlich nicht mehr auf C kommen, außer es ist noch irgendetwas angegeben. Deshalb sind alle Funktionen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_410.png)
Stammfunktionen von . Die Graphen der Stammfunktionen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_411.png)
haben zwar alle vom Prinzip her den gleichen Verlauf wie der Graph von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_343.png)
, können aber um C nach oben oder unten verschoben sein. Auch dazu gleich ein konkretes Aufgabenbeispiel:
8. Bsp.:
Gegeben ist der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_150.png)
einer Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_199.png)
. Siehe Abb. 8.1! Zeichne den Graph ab und skizziere in dasselbe Koordinatensystem sowohl den Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_413.png)
der Ableitungsfunktion als auch den Graph derjenigen Stammfunktion der Ableitungsfunktion, die durch den Punkt _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_414.png)
verläuft!
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_415.png)
Abb. 8.1 Graph einer Funktion
Lösung:
Gegeben ist der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
einer Funktion . Aus Abb. 8.1 kannst du ablesen, dass die Funktion folgende Extrema besitzt: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_418.png)
Die beiden Tiefpunkte sind gleichzeitig Nullstellen von . Mit diesen Informationen kannst du den Graph leicht abzeichnen.
Als erstes soll nun der Graph der Ableitungsfunktion skizziert werden. Die erste Ableitung entspricht bekanntlich der Steigung von . An denjenigen Stellen, wo waagrechte Tangenten hat, ist die Steigung von , also gleich Null. Bei den Extrempunkten von gilt somit: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_184.png)
Die Ableitungsfunktion hat deshalb dort Nullstellen, wo Extrema hat.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_363.png)
Nullstellen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_425.png)
bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_425.png)
In den Bereichen, wo _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_158.png)
fällt, gilt für die Ableitung _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_426.png)
. Die Ableitungsfunktion verläuft dort unterhalb der x-Achse.
In den Bereichen, wo steigt, gilt für die Ableitung _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_427.png)
. Die Ableitungsfunktion verläuft dort oberhalb der x-Achse.
Die Steigung von ergibt die Funktionswerte (y-Koordinaten) der Ableitungsfunktion.
Mit diesen Überlegungen lässt sich der Graph der Ableitungsfunktion skizzieren. Versuche es erst alleine, ohne dir sofort die folgende Lösung anzuschauen!
