Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Nur 7d.) und 7e.) kommen daher als Stammfunktionen zu _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_92.png)
in Frage.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_335.png)
Abb. 7d.) Graph einer Stammfunktion |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_336.png)
Abb. 7e.) Graph einer Stammfunktion |
Bloßwelche der beiden ist es nun? Ganz einfach:
An Abb. 7.2 erkennt man, dass der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_373.png)
für _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_322.png)
unterhalb der x-Achse verläuft. Deshalb muss die zugehörige Stammfunktion G für auf jeden Fall streng monoton fallend sein.
Umgekehrt ist der Graph für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_362.png)
und für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_360.png)
oberhalb der x-Achse. In diesen Bereichen muss die Stammfunktion jeweils streng monoton steigend sein.
Weil die Stammfunktion für fällt und für _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_386.png)
steigt, muss bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_310.png)
ein Tiefpunkt (Minimum) der Stammfunktion sein.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_363.png)
Abb. 7e.) zeigt den Graph einer Stammfunktion G von .
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_388.png)
Abb.:Der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_388.png)
und der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_389.png)
der zugehörigen Stammfunktion G gemeinsam dargestellt
Jetzt noch zur letzten der drei Funktionen, zur Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_337.png)
.
Falls du bei den vorherigen beiden Funktionen noch nicht selbständig den Graph der Stammfunktion zugeordnet hast und nur die Lösung gelesen hast, solltest du es jetzt auf jeden Fall alleine probieren!
Die Vorgehensweise hast du hoffentlich inzwischen verstanden. Immer zuerst ablesen, wo die Nullstellen der Funktion selbst liegen. An den Stellen, wo _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_390.png)
Nullstellen hat, hat _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_390.png)
Punkte mit waagrechten Tangenten (Extrema oder Terrassenpunkte der Stammfunktion). Einer einfachen Nullstelle von h entspricht ein Extremum von H;einer doppelten Nullstelle von h entspricht ein Terrassenpunkt von H. Dann schauen, in welchen Bereichen der Funktionsgraph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_391.png)
oberhalb (bzw. unterhalb) der x-Achse liegt. Dadurch weißt du, in welchen Bereichen die Stammfunktion steigt (bzw. fällt).
Hier noch einmal der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_391.png)
der Funktion .
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_333.png)
Abb. 7.3 Graph der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_329.png)
Du hast inzwischen hoffentlich alleine versucht auf die Lösung zu kommen.
Zu deiner Kontrolle:Abb. 7a.) gehört zu einer Stammfunktion H von .
Warum? Die Nullstellen von liegen bei (doppelte Nullstelle) und bei _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_354.png)
(einfache Nullstelle). Daher muss die Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_395.png)
bei und bei Punkte mit waagrechten Tangenten besitzen. Bei hat einen Terrassenpunkt, bei ein Extremum. Für verläuft oberhalb der x-Achse, daher muss für der Graph der Stammfunktion steigen. Das gleiche gilt für . Auch hier ist oberhalb der x-Achse und deshalb muss die Stammfunktion für streng monoton steigend sein. Erst für verläuft unterhalb der x-Achse, daher muss für der Graph der Stammfunktion fallen.
Wir fassen unsere Überlegungen in einer Tabelle zusammen.
