Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_327.png)
Abb.:Die Graphen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_328.png)
und der Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_328.png)
7. Bsp.:
In den Abbildungen 7.1 bis 7.3 sind die Graphen der Funktionen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_329.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_329.png)
zu sehen. In den Abbildungen 7a.) bis 7f.) sind die Graphen verschiedener Stammfunktionen dargestellt. Jeweils eine davon stellt den Graph einer Stammfunktion F, G und H dar. Ordne den Funktionen und den jeweils zugehörigen Graph der Stammfunktion zu!
(Drucke dir die folgenden Abbildungen am besten aus, damit du sie alle gleichzeitig sehen und miteinander vergleichen kannst!)
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Abb. 7.1 Graph der Funktion
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Abb. 7.2 Graph der Funktion |
Abb. 7.3 Graph der Funktion |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_331.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_332.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_332.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_333.png)
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Abb. 7a.) Graph einer Stammfunktion |
Abb. 7b.) Graph einer Stammfunktion |
Abb. 7c.) Graph einer Stammfunktion |
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Abb. 7d.) Graph einer Stammfunktion |
Abb. 7e.) Graph einer Stammfunktion |
Abb. 7f.) Graph einer Stammfunktion |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_334.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_334.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_335.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_335.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_336.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_336.png)
Lösung:
Gegeben sind in Abb. 7.1 bis 7.3 die Graphen der drei Funktionen _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_337.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_337.png)
, aber nicht ihre Funktionsgleichungen. Außerdem sind in Abb. 7a.) bis 7f.) sechs Graphen von Stammfunktionen gegeben. Die Frage ist, welche der Abbildungen 7a.) bis 7f.) jeweils eine Stammfunktion F, G bzw. H von bzw. zeigt.
Beginnen wir mit _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
. Der Graph von in Abb. 7.1 zu sehen. Welche der Abbildungen 7a.) bis 7f.) zeigt den Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
einer Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
zu ?
Es gilt bekanntlich: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_28.png)
Die Ableitungsfunktion von F ist also die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_157.png)
. Die Steigung von F entspricht dem Funktionswert, d.h. der y-Koordinate von .
Wo der Graph von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_343.png)
unterhalb der x-Achse verläuft, ist _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_343.png)
und somit _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_344.png)
. D.h. in diesem Bereich fällt der Graph der Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_344.png)
.
Wo der Graph von oberhalb der x-Achse verläuft, ist _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_345.png)
und somit _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_346.png)
. D.h. in diesem Bereich steigt der Graph der Stammfunktion .
Wo der Graph von die x-Achse schneidet (einfache Nullstelle von ), ist der Funktionswert _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_348.png)
und das Vorzeichen von ändert sich. Somit gilt auch _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_161.png)
mit Vorzeichenwechsel von F´. D.h.:An der Stelle, wo eine einfache Nullstelle besitzt, hat der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt (keinen Terrassenpunkt).
Hier noch einmal der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
von .
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_351.png)
Abb. 7.1 Graph der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_199.png)
Als erstes suchen wir jetzt die Nullstellen von . In Abb. 7.1 sieht man, dass der Graph die x-Achse bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_310.png)
und bei _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_354.png)
schneidet. In anderen Worten:Bei und bei hat einfache Nullstellen. Das bedeutet wiederum, dass die Stammfunktion F bei und bei jeweils ein Extremum besitzen muss. Wenn du nun die Abbildungen 7a.) bis 7f.) betrachtest, wirst du gleich feststellen, dass nur zwei Graphen diese Bedingung erfüllen. Überlege dir selbst, welche in Frage kommen!
