Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Wo _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_231.png)
steigt, ist _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_231.png)
linksgekrümmt.
Wo fällt, ist rechtsgekrümmt.
Wo ein Extremum hat, besitzt einen Wendepunkt.
Aus der Zeichnung lassen sich die Koordinaten der beiden Tiefpunkte von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
nur ungefähr ablesen. Die x-Koordinaten der beiden Tiefpunkte sind ungefähr _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_278.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_278.png)
. Der Hochpunkt _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_224.png)
ist angegeben. Daher muss _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_265.png)
, sowie ungefähr bei und jeweils einen Wendepunkt haben.
Die weiteren Zusammenhänge zwischen Steigung von und Krümmung von stellen wir in Tabellenform dar. (Wir gehen im Folgenden davon aus, dass die Tiefpunkte tatsächlich genau bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_282.png)
liegen.)
| x | _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_283.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_283.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_284.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_284.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_285.png) ,5 |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_285.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_286.png) |
|
streng monoton fallend | TIP | streng
monoton steigend |
HOP | streng
monoton fallend |
TIP | streng
monoton steigend |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_287.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_254.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_254.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_253.png) |
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rechts gekrümmt | WP | links gekrümmt | WP | rechts gekrümmt | WP | links
gekrümmt |
Spätestens jetzt solltest du alleine den Graph der Stammfunktion skizzieren! Die y-Koordinaten der Extrema und Wendepunkte von weißman leider nicht. (Außer den Wendepunkt im Ursprung, der aus der Angabe zu entnehmen war.) Du musst den Graph nicht genau zeichnen. Der grobe Verlauf reicht.
Hast du den Graph inzwischen wirklich alleine gezeichnet?
Falls nicht, dann jetzt!
Nun willst du aber bestimmt endlich sehen, wie der Graph wirklich aussieht. In der folgenden Abbildung kannst du die Graphen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_294.png)
in einem gemeinsamen Koordinatensystem sehen.
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_295.png)
Abb.:Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_295.png)
einer Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_296.png)
und Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_296.png)
der zugehörigen Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_297.png)
, die durch den Ursprung verläuft
Wenn dein Graph ein wenig von der exakten Lösung abweicht, macht das nichts. Das Entscheidende sind die x-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte. Die müssen stimmen!
Du hast sicher gemerkt, dass es gar nicht so einfach ist, den Graph einer Stammfunktion bei gegebenem selbst zu zeichnen. Es gibt aber auch häufig die Aufgabenstellung, dass Abbildungen mit verschiedenen Graphen gegeben sind und man zuordnen muss, welche Abbildung den Graph einer Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
zu zeigt. Dabei ist entweder die Funktionsgleichung von oder der Graph angegeben.
6. Bsp.:Einer Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_199.png)
den Graph einer Stammfunktion zuordnen
In der Abbildung unten sind vier verschiedene Graphen dargestellt. Welcher dieser Graphen gehört zu einer Stammfunktion F der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_301.png)
?
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_302.png)
Lösung:
Gegeben ist die Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_302.png)
und vier verschiedene Graphen. Die Frage ist hier, welcher der vier Graphen zu einer Stammfunktion von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_303.png)
gehört? Wir verwenden dazu die Tatsache, dass der Graph einer Stammfunktion an derjenigen Stelle ein Extremum besitzen muss, wo eine einfache Nullstelle hat, also wo die x-Achse schneidet. An der Stelle, wo eine doppelte Nullstelle hat, muss einen Terrassenpunkt haben. Daher müssen vorweg die Nullstellen von berechnet werden. Das kannst du bestimmt alleine. Also, los geht´s! Einfach gleich Null setzen und nach x auflösen! (Tipp:Klammern nicht ausmultiplizieren! Die Nullstellen lassen sich direkt ablesen.)
