Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Im Bereich _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_244.png)
verläuft _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
unterhalb der x-Achse und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
ist in diesem Intervall streng monoton fallend.
Für _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_246.png)
liegt wieder oberhalb der x-Achse und ist auch in diesem Bereich streng monoton steigend.
Wir fassen unsere Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle zusammen. Damit lässt sich dann auch die Art der Extrema schön ablesen:Einfach den Verlauf der Pfeile betrachten! Daran kannst du gut ablesen, ob es sich um einen Hochpunkt (Maximum) oder um einen Tiefpunkt (Minimum) von handelt.
| x | _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_248.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_248.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_249.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_249.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_250.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_250.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_251.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_251.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_252.png) |
|
oberhalb
der x-Achse |
einfache Nst. | unterhalb
der x-Achse |
einfache Nst. | oberhalb
der x-Achse |
einfache Nst. | unterhalb
der x-Achse |
einfache Nst. | oberhalb
der x-Achse |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_253.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_253.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_254.png) |
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_254.png) |
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_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_258.png) steigt |
HOP | _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_259.png) fällt |
TIP | steigt |
HOP | fällt |
TIP | steigt |
Nun kann der Graph bereits skizziert werden. Dabei ist zu beachten, dass die y-Koordinaten der Kurvenpunkte von der Steigung von an der jeweiligen Stelle entsprechen. So liegt zum Beispiel der Punkt _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_224.png)
auf . Es gilt somit: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_263.png)
und wegen _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_28.png)
auch _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_264.png)
. Das bedeutet, dass an der Stelle _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_265.png)
die Steigung 4,5 besitzt. Laut Angabe soll durch den Ursprung verlaufen. Wir zeichnen daher im Ursprung die Tangente zu mit Hilfe eines Steigungsdreiecks, d.h. wir gehen 1 nach rechts und 4.5 nach oben. Mit der Tangente lässt sich in der Umgebung des Ursprungs dann genauer zeichnen.
Schüler, die im Unterricht nur die erste Ableitung, aber noch nicht die zweite Ableitung besprochen haben, sollten nun alleine versuchen den Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_149.png)
der Stammfunktion zu skizzieren! (Die y-Koordinaten der Extrema von kannst du dabei nicht wissen.) Den exakten Graph kannst du dir etwas weiter unten ansehen.
Schüler, die die zweite Ableitung und das Thema „Wendepunkte“ bereits im Unterricht besprochen haben, sollten noch ein bisschen warten mit dem Zeichnen und weiterlesen:
Es handelt sich bei der Tangente im Ursprung um eine Wendetangente von . Warum? Der Punkt ist ein Hochpunkt von und daher hat bei einen Wendepunkt. Die Tangente im Ursprung ist somit Wendetangente von . Deshalb kommt von der einen Seite an die Tangente heran und geht von der anderen Seite wieder weg. (Das ist bei Wendetangenten schließlich immer so.) Die Krümmung von ändert sich genau im Ursprung;man lenkt dort quasi von links nach rechts um.
Wenn du auch das Krümmungsverhalten von mit in deine Überlegungen einbeziehst, wird die Zeichnung von deutlich genauer. Daher beschäftigen wir uns auch noch mit den Zusammenhängen zwischen Steigung von und Krümmung von .
