Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Nun wollen wir die soeben besprochenen Zusammenhänge in konkreten Aufgabenbeispielen anwenden. (Alle folgenden Aufgaben können auch von Schülern gelöst werden, welche die zweite Ableitung noch nicht im Unterricht behandelt haben.)
5. Bsp.:
Gegeben ist der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_150.png)
der Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_199.png)
. Siehe Abbildung! (Alle Nullstellen von sind ganzzahlig. Der Punkt _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_220.png)
ist ein relativer Hochpunkt von .)
Zeichne den Graph selbst auf ein Blatt Papier und skizziere im selben Koordinatensystem den Verlauf des Graphen _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_149.png)
einer Stammfunktion F zu _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_165.png)
. Die Stammfunktion F soll durch den Ursprung verlaufen.
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_222.png)
Abb.:Graph einer Funktion
Lösung:
Mit Hilfe des Hochpunktes _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_224.png)
und den Nullstellen kannst du den Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
abzeichnen. Die Nullstellen von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
liegen bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_225.png)
. (Die Zeichnung muss nicht perfekt sein;Hauptsache der Hochpunkt und die Nullstellen sind absolut korrekt und der Verlauf von passt ungefähr.)
Es soll der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
der Stammfunktion skizziert werden, die durch den Ursprung verläuft. Gegeben ist hier nur der Graph , aber nicht der Funktionsterm von . Man könnte jetzt natürlich versuchen, zuerst die Gleichung von zu ermitteln, dann integrieren und die Konstante C so berechnen, dass die Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
durch den Ursprung verläuft. Dann könnte man den Graph von beispielsweise mit einer Wertetabelle zeichnen. Das ist in dieser Aufgabe jedoch gar nicht nötig. Es soll schließlich nur eine Skizze und keine genaue Zeichnung des Graphen von angefertigt werden. Wir überlegen uns daher, welche Zusammenhänge zwischen und bestehen.
Wo _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_231.png)
oberhalb der x-Achse verläuft, muss _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_231.png)
steigen.
Wo unterhalb der x-Achse verläuft, muss fallen.
Wo die x-Achse schneidet, muss einen Extrempunkt besitzen.
An der Abbildung ist zu erkennen, dass für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_234.png)
oberhalb der x-Achse verläuft. Somit muss für streng monoton steigend sein. In der Abbildung sieht man auch, dass für _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_236.png)
unterhalb der x-Achse liegt. Deshalb muss für streng monoton fallend sein. An der Stelle _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_238.png)
schneidet die x-Achse, hat dort also eine einfache Nullstelle. muss daher bei ein Extremum haben. Die Art des Extremums, also ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist, wird mit Hilfe der Monotonie, d.h. mit dem Steigungsverhalten von bestimmt. Zuerst steigt , dann fällt er. Stelle dir das zum Beispiel mit kleinen Pfeilen vor: _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_241.png)
Es muss sich um einen Hochpunkt von handeln. Bei hat einen Hochpunkt. Entsprechend geht man nun in den anderen Bereichen vor. Im Bereich _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_243.png)
verläuft oberhalb der x-Achse und ist in diesem Intervall streng monoton steigend.
