Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Bisher haben wir uns damit beschäftigt, wie man die Gleichung einer Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
zu einer gegebenen Funktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
rechnerisch ermitteln kann. Im Folgenden werden wir uns mit den Zusammenhängen der Graphen _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
einer Stammfunktion und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
der zugehörigen Funktion beschäftigen.
Zusammenhang von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_149.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_150.png)
Wie bereits besprochen, stellt die Ableitungsfunktion von dar: _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_12.png)
Doch was bedeutet dies anschaulich? Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt bekanntlich die Steigung dieser Funktion. _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_152.png)
entspricht daher der Steigung der Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_27.png)
.
stellt bekanntlich die y-Koordinate eines Kurvenpunktes der Funktion dar.
Deshalb bedeutet die Gleichung _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_28.png)
anschaulich folgendes:Die Steigung von F an einer bestimmten Stelle entspricht der y-Koordinate von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_154.png)
an dieser Stelle.
Daraus ergeben sich die folgenden Zusammenhänge der Graphen und :
Wo der Graph der Stammfunktion _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_156.png)
steigt, ist ihre Ableitung positiv und somit ist wegen zwangsläufig auch die y-Koordinate von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_157.png)
an dieser Stelle positiv;d.h. der Graph _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_158.png)
verläuft oberhalb der x-Achse.
Wo der Graph der Stammfunktion fällt, ist ihre Ableitung negativ und somit ist wegen zwangsläufig auch die y-Koordinate von an dieser Stelle negativ, d.h. der Graph verläuft unterhalb der x-Achse.
Wo der Graph eine waagrechte Tangente hat, ist ihre Ableitung _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_161.png)
und somit gilt wegen zwangsläufig auch für die y-Koordinate von an dieser Stelle _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_163.png)
bzw. _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_163.png)
und der Graph hat dort eine Nullstelle.
Besitzt der Graph von F an einer bestimmten Stelle ein Extremum, d.h. einen Punkt mit waagrechter Tangente und Vorzeichenwechsel von , dann schneidet der Graph von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_165.png)
an dieser Stelle die x-Achse, hat dort also eine einfache Nullstelle. Der Vorzeichenwechsel von bedingt schließlich wegen auch einen Vorzeichenwechsel von f und deshalb schneidet die x-Achse an derselben Stelle, wo das Vorzeichen seiner Steigung ändert. An der Stelle, wo ein Extremum hat, muss deshalb eine einfache Nullstelle haben.
Besitzt der Graph von F an einer bestimmten Stelle einen Terrassenpunkt, d.h. einen Punkt mit waagrechter Tangente ohne Vorzeichenwechsel von , dann berührt der Graph von an dieser Stelle die x-Achse, hat dort also eine doppelte Nullstelle. Wenn zwar eine waagrechte Tangente hat, sich dort aber das Vorzeichen von nicht ändert, ändert sich wegen zwangsläufig auch das Vorzeichen von f nicht. schneidet die x-Achse daher nicht, sondern berührt sie dort nur, was einer doppelten Nullstelle von entspricht. An der Stelle, wo einen Terrassenpunkt hat, muss deshalb eine doppelte Nullstelle haben.
