Die Integralfunktion und der HDI

Die Funktion F aus unserer Aufgabe ist jedoch nachgewiesener Weise (vgl. Teilaufgabe 4a.) streng monoton fallend und in ihrer gesamten Definitionsmenge stetig. Also kann F die x-Achse nicht mehrmals schneiden. hat bei (untere Grenze) somit die einzige Nullstelle. Dadurch ist gezeigt, dass F genau eine Nullstelle hat. Diese liegt bei .

Merke: Ist eine Integralfunktion F einer stetigen Funktion f streng monoton, d.h. F ist nur steigend oder nur fallend, hat F genau eine Nullstelle. Eine Integralfunktion F ist genau dann streng monoton, wenn ihre Ableitung F´(x) immer positiv oder immer negativ ist. Laut HDI gilt . Eine Integralfunktion F ist deshalb genau dann streng monoton, wenn entweder immer positiv oder immer negativ ist, also wenn sein Vorzeichen nicht ändert. (Der Graph der Funktion f verläuft dann immer oberhalb der x-Achse oder immer unterhalb.) Sollst du zeigen, dass eine Integralfunktion genau eine Nullstelle hat, reicht es aus zu beweisen, dass F streng monoton ist. Du musst also zeigen, dann d.h. entweder immer positiv oder immer negativ ist, egal was man für x einsetzt. Die Nullstelle liegt bei , wobei a für die untere Grenze der Integralfunktion steht.

Zu 4c.)

Es soll gezeigt werden, dass genau einen Wendepunkt besitzt. Außerdem sollen die Koordinaten des Wendepunktes angegeben werden.

Überlege dir vorweg, wie du bei einer Funktion die Wendepunkte berechnen würdest.

Zur Erinnerung:Wendepunkte von f sind diejenigen Kurvenpunkte, wo sich das Krümmungsverhalten der Funktion f ändert. Man berechnet sie, indem man die Zweite Ableitung f ´´(x) gleich Null setzt. (Die zweite Ableitung von f entspricht dem Krümmungsverhalten von f.)

Um nun die Wendepunkte einer Integralfunktion F(x) zu berechnen, muss entsprechend die zweite Ableitung von F gleich Null gesetzt werden:

Laut HDI gilt und somit auch .

Um die zweite Ableitung von F zu bilden, müssen wir daher die erste Ableitung der Integrandenfunktion berechnen. Leite doch gleich ´mal alleine ab!

Du kannst das entweder mit der Quotientenregel oder auch nach Umformung mit dem Potenzgesetz mit der Kettenregel machen. Wir wählen hier die Methode mit der Quotientenregel.

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist und der Nenner nicht gleich Null ist. Der Nenner kann hier nicht gleich Null werden, denn kann nicht negativ sein wegen der geraden Potenz. müsste aber gleich -1 sein, damit der Nenner Null ergibt.

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