Das Summenzeichen und die Streifenmethode

Außerdem bildet die Zahl 5 den Nenner der beiden Brüche. Wir vermuten, dass folgende Formel gelten muss:

Schon mal vorweg gesagt:Die gezeigte Formel stimmt. Doch herleiten müssen wir sie dennoch, bevor wir sie verwenden können. Der interessierte Schüler kann das jetzt gleich alleine versuchen, es ist eine gute Übung. Gehe dabei zuerst vom Integral mit der unteren Grenze a = 0 aus. Berechne also mit der Streifenmethode und leite davon ab.

Zu deiner Kontrolle hier der Rechenweg:

Mit der Streifenmethode zu berechnen:

Es gilt:

Untere Grenze a = 0, obere Grenze b und

Anzahl der Streifen:n

Streifenbreite:

Berechnung der Obersumme :

Wir klammern aus:

Für die Streifenbreite gilt:

Damit ergibt sich für die Obersumme:

Anmerkung:Der Ausdruck wird absichtlich nicht gekürzt.

Damit du nachher leichter auf die Summenschreibweise kommst, schreiben wir statt ab sofort besser:

Dieser Ansatz gilt bei allen streng monoton steigenden Funktionen für die Obersumme. Ab jetzt werden wir aber konkret mit der Funktion rechnen.

Um bis zu ermitteln, setzen wir nun für x die Werte bis in die gegebene Funktionsgleichung ein.

Jetzt müssen wir das Ganze soweit möglich vereinfachen. Wir klammern dazu zusätzlich zu auch noch den Faktor aus. Das ergibt:

Den Ausdruck in der Klammer können wir mit dem Summenzeichen schreiben. In der Klammer steht nämlich die Summe der vierten Potenzen aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Weil wir die Potenzen vorher nicht ausgerechnet haben, ist das besonders gut zu erkennen.

Hier noch einmal die Formel für die Summe der vierten Potenzen:

Damit ergibt sich:

Als nächstes vereinfachen wir den entstandenen Term, indem wir mit n kürzen. Statt durch 30 zu teilen, multiplizieren wir mit dem Kehrwert von 30, also mit . Dann sieht das Ganze schöner aus. Nach dem Kürzen mit n verbleibt noch im Nenner des ersten Bruchs. Dieses schreiben wir besser in den Nenner des zweiten Bruchs. Dann lässt sich nachher leichter weiterrechnen.

Letztendlich wollen wir die Streifenanzahl n gegen Unendlich gehen lassen. In anderen Worten:Wir müssen den Grenzwert berechnen.

Um diesen Grenzwert ermitteln zu können, muss man den Bruch noch etwas umformen. Wir teilen jeden Summanden des Zählers einzeln durch den Nenner .

Nun kann der Grenzwert leicht berechnet werden. Für n gegen Unendlich gehen die Brüche und nämlich gegen Null, d.

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