Das Summenzeichen und die Streifenmethode

Die Fläche zwischen und der x-Achse von x = 0 bis x = 8 hat somit exakt den Wert . (Dabei steht FE für Flächeneinheiten, z. B. .)

Vergleiche nun zum Abschluss das exakte Ergebnis mit den Näherungswerten, die wir durch die Mittelwertbildung von Ober- und Untersumme mit 2, 4 und 8 Streifen erhielten!

Hier noch einmal die Ergebnisse von oben:

Die 2. und vor allem die 3. Näherung ergeben offensichtlich schon ganz passable Werte, wobei natürlich die Genauigkeit der Näherung mit steigender Streifenanzahl zunimmt.

Wir halten allgemein fest:

Das Integral lässt sich mit Hilfe der Streifenmethode berechnen. Die Ergebnisse der Ober- und Untersumme nähern sich mit größer werdender Streifenanzahl n immer mehr an den exakten Wert des Integrals an. Die Grenzwerte von Ober- und Untersumme für n gegen Unendlich liefern den exakten Wert.

Wie die Ober- und Untersumme berechnet wird, hängt davon ab, ob die Integrandenfunktion im jeweiligen Intervall steigt oder fällt.

Übersicht zur Berechnung des Integrals mit der Streifenmethode:

Ist die untere Grenze a = 0 gilt allgemein für die Streifenbreite:

Es fällt auf:Bei streng monoton fallenden Funktionen sind die Ansätze von Ober- und Untersumme genau vertauscht im Vergleich zu streng monoton steigenden Funktionen. Warum ist das so?

Bei streng monoton steigenden Funktionen liegen die für die Berechnung der Streifenhöhen benötigten Kurvenpunkte bei der Obersumme immer am rechten Rand der einzelnen Streifen und bei der Untersumme am linken Rand. (Betrachte dazu die nachfolgenden Abbildungen I und II.)

Bei streng monoton fallenden Funktionen ist es genau umgekehrt. Ist die Integrandenfunktion streng monoton fallend, liegen die Kurvenpunkte, deren y-Koordinaten die Streifenhöhen liefern, bei der Obersumme immer am linken Rand und bei der Untersumme immer am rechten Rand der Streifen. (Betrachte dazu die nachfolgenden Abbildungen III und IV.)

Deshalb sind die Ansätze für Ober- und Untersumme bei fallenden Funktionen genau umgekehrt wie bei steigenden Funktionen.

Abb. I:Obersumme einer im Intervall [a; b] steigenden Funktion Die Kurvenpunkte, die zur Berechnung der Streifenhöhen benötigt werden, liegen jeweils am rechten Rand der Streifen.	Abb. II:Untersumme einer im Intervall [a; b] steigenden Funktion Die Kurvenpunkte, die zur Berechnung der Streifenhöhen benötigt werden, liegen jeweils am linken Rand der Streifen.
Abb. III:Obersumme einer im Intervall [a; b] fallenden Funktion Die Kurvenpunkte, die zur Berechnung der Streifenhöhen benötigt werden, liegen jeweils am linken Rand der Streifen.	Abb. IV:Untersumme einer im Intervall [a; b] fallenden Funktion Die Kurvenpunkte, die zur Berechnung der Streifenhöhen benötigt werden, liegen jeweils am rechten Rand der Streifen.

---