Erlaeuterungen zum Loesen von Gleichungen dritten Grades
Wie löst man die Gleichung 
?
Die vorliegende Gleichung hat die Form 
;das ist eine Gleichung dritten Grades. ( 
ist schließlich die höchste Potenz von x, deshalb dritten Grades) Wie löst man solche Gleichungen? Zuerst schaut man, ob sich auf der linken Seite der Gleichung x ausklammern lässt. Wenn das möglich ist, setzt man x und die durch das Ausklammern entstehende Klammer einzeln gleich Null. In der Klammer steht dann meist ein Ausdruck mit 
. Wenn man dies gleich Null setzt, ergibt sich also eine quadratische Gleichung, die du entweder durch Wurzelziehen oder mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Leider klappt das in unserem Fall nicht.
Weil sich bei der vorliegenden Gleichung wegen der additiven Konstante +6 auf der linken Seite der Gleichung x nicht ausklammern lässt, bleibt nur der folgende Rechenweg:Die erste Lösung der Gleichung muss erraten werden, dann folgt eine Polynomdivision: Die linke Seite der Gleichung wird durch die Klammer (x – erratene Lösung) geteilt. Das Minuszeichen in der Klammer vor der erratenen Lösung bedeutet, dass du praktisch das Vorzeichen der erratenen Lösung umdrehen musst. In der Klammer, durch die bei der Polynomdivision geteilt werden muss, steht also hinter dem x die erratene Lösung mit umgedrehtem Vorzeichen. Das Ergebnis der Polynomdivision wird dann gleich Null gesetzt. Es entsteht so eine quadratische Gleichung. Je nach dem, ob sie und x enthält (gemischtquadratische Gleichung) oder nur (reinquadratische Gleichung), wird entweder die Mitternachtsformel angewendet oder durch Wurzelziehen nach x aufgelöst.
Du kannst jetzt sofort versuchen eine der Lösungen zu erraten, indem du entweder irgendwelche ganzen Zahlen zwischen -3 und +3 bei der linken Seite der Gleichung für x einsetzt und schaust, ob dabei Null herauskommt, oder du machst mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle von -3 bis +3 mit der Schrittweite 1. Dann nimmst du denjenigen x-Wert, bei dem für y in der Wertetabelle der Wert Null herausgekommen ist. Dieser x-Wert ist die erste (erratene) Lösung. Falls sich bei der Wertetabelle bei mehreren x-Werten der y-Wert Null ergibt, wählst du einfach einen dieser x-Werte aus. Die anderen Lösungen müssen aber wirklich berechnet werden, du darfst sie nicht einfach aus der Wertetabelle entnehmen, sonst gibt es Punktabzug! Also bei einer Gleichung dritten Grades immer nur eine Lösung erraten, die anderen Lösungen, falls sie überhaupt existieren, wirklich berechnen.
