3.Volumenberechnungen von Rotationskoerpern mit Hilfe von Integralen

2. Methode:

Grundprinzip: Wir betrachten statt des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen um die y-Achse entsteht, denjenigen Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen der Umkehrfunktion um die x-Achse entsteht. Dieser Rotationskörper hat das gleiche Volumen wie der ursprüngliche Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen um die y-Achse entstand.

Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich bekanntlich durch Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden y = x. Die Umkehrfunktion lassen wir nun um die x-Achse rotieren. Dann kann mit der bekannten Formel für die Rotation um die x-Achse gearbeitet werden. Man muss dabei anstatt natürlich verwenden. Es ist schließlich der Graph der Umkehrfunktion , der um die x-Achse rotiert.

So kommt man auf die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation von um die y-Achse:

Anleitung:

·         Ermittle die Umkehrfunktion der Funktion . Dazu kannst du entweder zuerst x gegen y vertauschen und dann nach y auflösen, oder umgekehrt zuerst nach x auflösen und danach x gegen y vertauschen.

(Den Graph der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden y = x. Den Graph lässt man dann in Gedanken um die x-Achse rotieren.)

·         Berechne das Volumen mit der Formel:

Hinweis: Die Integrationsgrenzen und sind senkrecht verlaufende Geraden. Bei dieser Methode wird ganz normal nach dx integriert. Man lässt schließlich den Graph der Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren. Auf die Werte a und b kommt man, indem man die Werte a und b von den waagrechten Geraden y = a und y = b nimmt, welche den Graph der Funktion oben bzw. unten begrenzen. Wenn streng monoton ist, sind dies die y-Koordinaten der Randpunkte der Funktion . Die Integrationsgrenzen ergeben sich also aus der Wertemenge , was wiederum der Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht.