3.Volumenberechnungen von Rotationskoerpern mit Hilfe von Integralen

Deshalb gilt:

und     

Integriert man eine Konstante, d.h. eine feste Zahl nach dx, kommt einfach ein x dazu. Weil in unserem Fall ebenfalls eine Konstante ist, kommt bei der Integration von nach dx ebenso ein x dazu und es gilt:

Weil es sich bei um ein bestimmtes Integral (Integral mit Grenzen) handelt, können wir auf „+ C“ verzichten. Nun ist dir hoffentlich klar, warum gilt:

Solltest du Probleme bei der Berechnung des Integrals gehabt haben, wäre es gut, wenn du den Teil Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln wiederholen würdest.

Zu 5b.)

Herleitung der Kegelformel:

Zuerst brauchen wir eine geeignete Funktion , die bei Rotation um die x-Achse einen Kegel mit Radius r und der Höhe h ergibt. Wir nehmen eine schräge Gerade, welche durch den Ursprung des Koordinatensystems und durch den Punkt P(h;r) verläuft, und lassen sie um die x-Achse rotieren. Siehe Skizze!

Abb.:Der Graph rotiert um die x-Achse. Dadurch entsteht ein Kegel mit der Höhe h und dem Radius r.

Nun müssen wir die Gleichung der Geraden aufstellen. Sie verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems und den Punkt P(h| r). Wir gehen von der allgemeinen Geradengleichung y = mx + t aus. Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, ist der y-Achsenabschnitt t = 0. Die Steigung m kannst du entweder direkt aus der Zeichnung ablesen oder mit der Formel berechnen. Dabei sind die Punkte und zwei beliebige Geradenpunkte. Sagen wir mal, dass hier der Punkte dem Ursprung (0|0) und der Punkte unserem Punkt P(h| r) entspricht. Dann ergibt die Formel für die Steigung:

Einsetzen von und t = 0 in die allgemeine Geradengleichung y = mx + t liefert:

Damit sich nur das Teilstück der Geraden von 0 bis h ergibt, wählen wir wie schon in Teilaufgabe 5a.) die Definitionsmenge .

Da der Kegel durch Rotation von um die x-Achse entsteht, können wir das Kegelvolumen mit der Formel berechnen.

Mit und a = 0 und b = h ergibt sich:

Damit haben wir die Formel für das Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h hergeleitet.

3.2 Rotation um die y-Achse

Bisher haben wir uns ausschließlich mit der Volumenberechnung von Rotationskörpern beschäftigt, die durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse entstanden. Wie berechnet man nun aber das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die y-Achse entsteht? Dafür stehen uns zwei verschiedene Rechenwege zur Verfügung.

Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation von um die y-Achse entsteht 1. Methode: Grundprinzip: Wir kennen die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen einer Funktion um die x-Achse entsteht: Bei der Rotation um die y-Achse geht man entsprechend vor, nur dass dabei an Stelle von mit gearbeitet wird und statt nach dx nun nach dy integriert werden muss. Wir gehen also von der Formel für die Rotation um die x-Achse aus und ersetzen rein formal einfach x durch y. So ergibt sich die Formel für die Rotation um die y-Achse: Damit es bei der Rotation von um die y-Achse nicht zur Überschneidung mit sich selbst kommt, wird vorausgesetzt, dass die Funktion nur für positive Werte definiert ist. Anleitung: ·         Löse die Funktion vorweg nach x auf. Die nach x aufgelöste Form der Funktion wird mit bezeichnet. Es gilt somit: ·         Berechne das Volumen mit der Formel: Hinweis: Die Integrationsgrenzen y = a und y = b sind waagrecht verlaufende Geraden. Bei dieser Methode wird schließlich nach dy und nicht nach dx integriert! Der Graph rotiert schließlich um die y-Achse. Daher ist bei dieser Methode y die Variable und nicht mehr x, wie das sonst üblich ist. Herleitung der Formel (Grundgedanke): Die gezeigte Formel ließe sich herleiten, indem man sich den Rotationskörper in unendlich viele, senkrecht übereinander liegende Scheibchen von unendlich kleiner Höhe zerteilt denkt. Macht man die Höhe der Scheibchen dabei genügend klein, so werden aus den Scheibchen näherungsweise Zylinder, die dem Rotationskörper einbeschrieben sind. Die Zylinder sind senkrecht übereinander gestapelt und haben den Radius x. Dabei gilt: Durch Summieren der Einzelvolumina dieser unendlich vielen Zylinder mit unendlich kleiner Höhe ergibt sich das Gesamtvolumen. Das Aufsummieren entspricht dabei dem Integrieren nach dy. Daher kommt das Integral mit dem dy in der gezeigten Volumenformel für die Rotation um die y-Achse. Auf die exakte Herleitung soll hier verzichtet werden.

Hier ein konkretes Beispiel zur Rotation eines Funktionsgraphen um die y-Achse.

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