1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen

Wenn du dir den Verlauf des Graphen einer gegebenen Funktion nicht vorstellen kannst, weißt du natürlich nicht, welche Flächenstücke oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegen. Dann setzt du zur Sicherheit einfach um jedes einzelne Integral einen Betrag;dann ist das Ergebnis auf jeden Fall richtig. Du musst den Graph also nicht unbedingt vorher zeichnen, wenn du die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen sollst. (Besser ist es aber gerade beim Üben, wenn du nicht auf eine Skizze von verzichtest!)

Betrachten wir den Graph einer Funktion mit drei Nullstellen. (Vergleiche dazu die nachfolgende Abbildung!)

Im Folgenden gilt:

Die drei Nullstellen der Funktion liegen also bei a, b und c, wobei a die niedrigste Nullstelle ist und c die höchste.

Die gesamte Fläche zwischen und der x-Achse kann dann folgendermaßen berechnet werden:

Abb.:Bei x = a , x = b und x = c liegen die Nullstellen von . Der Graph einer Funktion schließt mit der x-Achse das Flächenstück ein. Die Gesamtfläche A setzt sich also aus dem oberhalb der x-Achse liegenden Flächenstück und dem unterhalb der x-Achse liegenden Flächenstück zusammen. (Bei der Berechnung des Inhalts von könnte man sich den Betrag sparen, da das zugehörige Integral sowieso positiv ist, nicht aber bei .)

Die Fläche zwischen und der x-Achse von a bis b liegt oberhalb der x-Achse. Daher kann beim Integral von a bis b zwar ein Betrag gesetzt werden, muss es aber nicht. Dagegen liegt die Fläche zwischen und der x-Achse von b bis c unterhalb der x-Achse. Beim Integral von b bis c muss daher unbedingt der Betrag verwendet werden, wenn man die Fläche berechnen will.

Fassen wir noch einmal das Wichtigste kurz zusammen.

Fläche berechnen, die mit der x-Achse einschließt Anleitung: Nullstellen berechnen: Grenzen Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren (beginnend bei der niedrigsten Nullstelle bis zur nächsthöheren usw.) Beträge der einzelnen Integrale addieren (Bei den Flächenstücken, die oberhalb der x-Achse liegen, kann auf den Betrag gegebenenfalls verzichtet werden. Bei den Flächenstücken, die unterhalb der x-Achse liegen, ist der Betrag zwingend notwendig.)

1.2 Fläche zwischen zwei Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen und . Gesucht ist die Fläche, die von diesen beiden Funktionen eingeschlossen wird.

1. Schritt:Grenzen berechnen

Zuerst muss man die x-Koordinaten, die sogenannten Abszissen, der Schnittpunkte herausfinden;das sind nämlich die Integrationsgrenzen. Du musst also zuerst die beiden Funktionen gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflösen.

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