1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Abb. 1c.) Die Graphen 
und 
derParabel 
und der Tangente 
Die Fläche, die durch die beiden Graphen und die x-Achse begrenzt ist, ergibt sich aus der Differenz des rosa schraffierten Dreiecks 
und der schwarz schraffierten Fläche 
zwischen Parabel und x-Achse.
Die insgesamt gesuchte Fläche A ergibt sich aus der Differenz des rosa schraffierten, dreieckigen Flächenstücks , welches zwischen der Tangente 
, der x-Achse und der senkrechten Geraden x = 5,5 liegt, und des kleineren schwarz schraffierten Flächenstücks , das von x = 4 bis zur senkrechten Geraden x = 5,5 zwischen der Parabel 
und der x-Achse liegt. Es muss also erstens die Fläche zwischen der Tangente 
und der x-Achse von der Nullstelle der Tangente x = 1,75 bis zu der Gerade x = 5,5 berechnet werden und zweitens die Fläche von x = 4 (linke Nullstelle der Parabel) bis x = 5,5 (x-Koordinate des Berührpunktes B) zwischen der Parabel 
und der x-Achse.
Die gesuchte Fläche hat einen Inhalt von 
.
Anmerkung:
Die rosa schraffierte Fläche 
hätte man anstatt mit dem Integral auch mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks 
ermitteln können.
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist es am praktischsten, als Grundlinie g und zugehöriger Höhe h die beiden Katheten zu verwenden. Als Grundlinie sehen wir hier die waagrechte Kante des rosa schraffierten Dreiecks an, welche von x = 1,75 bis x = 5,5 verläuft. Die zugehörige Höhe ist dann die senkrecht verlaufende Kante, die das Dreieck rechts begrenzt. Vergleiche Abb. 1c!
Die Länge der Grundlinie erhält man, indem man die beiden x-Koordinaten x = 1,75 und x = 5,5 voneinander abzieht: 
Die Länge der Höhe ergibt sich aus der y-Koordinate des Berührpunktes B(5,5|?). Wir müssen daher x = 5,5 entweder in die Gleichung der Tangente oder in die Gleichung der Parabel einsetzen. Wir entscheiden uns für die Tangente. Somit gilt: 
Die beiden Katheten des rosa schraffierten Dreiecks sind zufälligerweise gleich lang;das Dreieck ist gleichschenklig.
Nun lässt sich der Flächeninhalt des rosa schraffierten Dreiecks leicht ermitteln.
Es ergibt sich logischerweise der gleiche Wert für wie oben bei der Berechnung mit dem Integral. Von muss natürlich noch die Fläche 
subtrahiert werden, um die gesuchte Fläche A zu erhalten. kann allerdings nur mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden, wie oben schon vorgeführt.
10. Bsp.:Fläche zwischen Funktion und ihrer Umkehrfunktion
Gegeben ist die Funktion 
mit ihrer maximalen Definitionsmenge 
. Ihr Graph wird mit 
bezeichnet.
