Erklärungen zur Ableitung im 12. Bsp (aus GK-Abi 2005)
Wir verwenden die Kettenregel, da es sich bei der Funktion 
um eine verkettete (verschachtelte) Funktion handelt.
Kettenregel:Äußere Funktion ableiten, dabei die innere Funktion stehen lassen. Dann nachdifferenzieren, d.h. mit der Ableitung der inneren Funktion nachträglich multiplizieren.
Die innere Funktion ist bei der Funktion die ln-Funktion. Wie man das erkennt? Ganz einfach:Wenn du für x eine konkrete Zahl einsetzen würdest, müsstest du zuerst den Logarithmus ausrechnen, und erst danach quadrieren und von 1 subtrahieren. Das, was zuerst gerechnet werden müsste, ist die innere Funktion, also hier der ln. Wir nennen die innere Funktion 
oder kurz u. Es gilt somit: 
Die äußere Funktion ist dann 
. Würde man sie nach u ableiten, ergäbe sich 
. Wir müssen aber nach x ableiten – u steht schließlich für die von x abhängige, innere Funktion 
– und deshalb müssen wir noch nachdifferenzieren. D.h. wir müssen mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren. Die Ableitung von ist bekanntlich 
. Es muss daher beim Ableiten der Funktion mit nachdifferenziert werden. So ergibt sich:
Nun kann man noch alles auf einen Bruchstrich schreiben. Ob man dabei das Minus mit dem in den Zähler schreibt oder vor den Bruchstrich ist egal.
