Zweite Ableitung f´´(x)

(Der Terrassenpunkt ist schließlich auch ein Wendepunkt;der TEP ist schließlich bloßein Sonderfall des WEP, nämlich ein WEP mit waagrechter Tangente.) Bei einem Wendepunkt gilt immer: mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. Das bedeutet, dass der Graph bei x = 1 und bei x = 3 jeweils eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben muss. Der Graph schneidet die x-Achse und berührt sie nicht nur, denn es muss an diesen Stellen schließlich ein Vorzeichenwechsel von vorliegen. In den Bereichen, wo linksgekrümmt ist, gilt und verläuft oberhalb der x-Achse. In den Bereichen, wo rechtsgekrümmt ist, gilt und verläuft unterhalb der x-Achse. Weil für x <1 und x >3 linksgekrümmt ist, verläuft in diesen Bereichen oberhalb der x-Achse. Für 1 <x <3 ist rechtsgekrümmt ist und verläuft dort unterhalb der x-Achse.

Stattdessen kannst du natürlich auch als Steigung der Ableitungsfunktion auffassen. In den Bereichen, wo der Graph der Ableitungsfunktion streng monoton fallend ist, muss unterhalb der x-Achse verlaufen. Weil nur für fällt, liegt ausschließlich für unterhalb der x-Achse. Sonst verläuft oberhalb der x-Achse, weil für und steigt. An der Stelle x = 1 und bei x = 3 hat einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt;dort ist die Steigung von , also , gleich Null. Deshalb hat bei x = 1 und bei x = 3 eine Nullstelle. Weil sich das Vorzeichen der Steigung von bei einem Extremum ändert, muss an diesen Stellen auch ein Vorzeichenwechsel von vorliegen. schneidet daher die x-Achse bei x = 1 und x = 3. Nun müsstest du auch den Graph von skizzieren können.

Zu deiner Kontrolle:

Abb.:Der Graph der Funktion

Abb.:Der Graph der Ableitungsfunktion

Abb.:Der Graph der zweiten Ableitung

Falls der Tiefpunkt von von dir nicht exakt eingezeichnet wurde, ist das nicht schlimm. Es kommt hier nur auf den groben Verlauf an. Die in den oben gezeigten Abbildungen rot gestrichelten Linien musst du selbst auch nicht unbedingt einzeichnen. Sie sollten es dir bloßerleichtern, von einem Graph auf den nächsten zu schließen. Die rot gestrichelten Linien dienten hier also nur der Verdeutlichung.

Und hier alle Graphen in einem Koordinatensystem (in der Aufgabe nicht verlangt, nur für dich, damit du sie alle auf einmal sehen kannst):

Die wichtigsten Zusammenhänge von und tabellarisch zusammengefasst:

x
Verlauf von	str. m. fallend	TIP	str. m. steigend	TEP	str. m. steigend
		0		0
Verlauf von	unterhalb der x-Achse	Nst. mit Vzw. (x-Achse wird ge-schnitten)	oberhalb der x-Achse	Nst. ohne Vzw. (x-Achse wird nur berührt)	oberhalb der x-Achse

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