Zweite Ableitung f´´(x)
1. Bsp.:
Gegeben ist der Graph 
der Funktion 
. Siehe Abbildung! Der Tiefpunkt von TIP(0|-2), der Terrassenpunkt TEP(3|4,75) und der Wendepunkt WEP(1|0,75) sind rot markiert. Die Wendetangente von hat die Steigung 4. Zeichne zuerst den Graphen ab und zeichne dann auch die Graphen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion in zwei weitere Koordinatensysteme!
Hinweis:Am besten ist es, wenn du die drei Koordinatensysteme direkt untereinander zeichnest, dann kannst du nachher den Zusammenhang der Graphen von , der ersten Ableitung 
und 
am besten erkennen.
Abb.:Der Graph der Funktion
Lösung:
Nachdem du den Graphen 
abgezeichnet hast, überlegst du dir, welche Punkte von besonders wichtig sind für den Verlauf der beiden Ableitungsfunktionen. Das sind natürlich die bereits markierten Punkte, also der Tiefpunkt, der Terrassenpunkt und der Wendepunkt.
Wir beginnen mit den Überlegungen, die nötig sind, um auf den Graph 
der ersten Ableitung zu schließen. Die erste Ableitung entspricht bekanntlich der Steigung von . Die Steigung von wird demnach als y-Koordinate von aufgefasst. An den Stellen, wo waagrechte Tangenten hat, ist die Steigung von gleich Null und es gilt: 
Die erste Ableitungsfunktion 
muss deshalb Nullstellen haben, wo waagrechte Tangenten hat. D.h. weil bei x = 0 und x = 3 waagrechte Tangenten hat, muss dort Nullstellen haben. In den Bereichen, wo fällt, muss unterhalb der x-Achse verlaufen. Weil nur für x <0 fällt, liegt ausschließlich für x <0 unterhalb der x-Achse. An der Stelle x = 0 hat einen Tiefpunkt;dort ändert sich das Vorzeichen der Steigung von , also auch das Vorzeichen von . schneidet daher die x-Achse bei x = 0. Umgekehrt wo steigt, liegt zwangsläufig oberhalb der x-Achse. Weil für 
und 
steigt, muss in diesen Bereichen oberhalb der x-Achse liegen. Im Wendepunkt W(1|0,75) steigt lokal am stärksten. Das bedeutet, dass die Ableitungsfunktion bei x = 1 ein Maximum haben muss. Laut Angabe hat die Wendetangente die Steigung 4. Es gilt daher: 
Der Punkt (1|4) ist der Hochpunkt von . Versuche nun schon einmal den Graph in ein neues Koordinatensystem unterhalb von zu skizzieren! (Die Lösung folgt etwas weiter unten!)
Nun zum Graph 
der zweiten Ableitung 
u kannst die zweite Ableitung entweder als Krümmung von 
oder als Steigung von auffassen.
Betrachte nun als Krümmung von . Dann kannst du folgendermaßen von auf schließen:An der Stelle x = 1 und bei x = 3 befinden sich Wendepunkte von .
