Zweite Ableitung f´´(x)
Damit bei 
sicher ein TEP vorliegt, muss neben 
und 
auch 
gelten.)
Zusammenfassung: Art der Extrema mit 
untersuchen
*
*Wenn ein Vorzeichenwechsel von 
an der Stelle vorliegt bzw. 
gilt.
Mit ist übrigens eine konkrete x-Koordinate, also eine bestimmte Zahl, gemeint. Das Zeichen 
bedeutet „und zugleich“.
Schauen wir uns doch gleich mal ein Beispiel dazu an.
6. Bsp.:
Ermittle Art und Lage der relativen Extrempunkte der Funktion 
ohne Monotonieuntersuchung!
Lösung:
Bei einem Extremum verläuft die Tangente an den Funktionsgraph waagrecht, daher gilt:
Wir müssen daher die erste Ableitung gleich Null setzen, um die x-Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten zu ermitteln. Dafür benötigen wir natürlich die erste Ableitung, die wir vorweg berechnen müssen. Um 
zu bilden, multiplizieren wir in der Funktionsgleichung 
erst einmal das 
mit der Klammer, damit wir die Produktregel nicht anwenden müssen. Funktionen, die ein Produkt darstellen, das in beiden Faktoren x enthält, müssen schließlich mit der Produktregel abgeleitet werden. (Vergleiche auch:Weitere Ableitungsregeln) Den Aufwand beim Ableiten nach der Produktregel wollen wir uns ersparen. Da multiplizieren wir vor dem Ableiten doch lieber aus. Der Faktor 
muss nicht in die Klammer hineinmultipliziert werden. Es handelt sich dabei um eine multiplikative Konstante, also um eine Zahl ohne x, mit der multipliziert wird, und solche Konstanten bleiben beim Ableiten einfach stehen. (Es kommt aber auch das richtige Ergebnis heraus, wenn du den Faktor mit dem zusammen in die Klammer hineinmultiplizierst und dann ableitest. Das ist nur etwas unangenehmer zu rechnen wegen der entstehenden Brüche. Deshalb besser den Bruch nicht in die Klammer hineinmultiplizieren!)
In dieser Form lässt sich die Ableitung leicht bilden.
Wir klammern gleich noch 3x aus. Dadurch entsteht ein Produkt und das lässt sich leichter gleich Null setzen.
Nun setzen wir die Ableitung gleich Null. Die Lösungen lassen sich sofort erkennen.
Dir ist nicht klar, wie man auf die beiden Lösungen kommt? Dann bedenke, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Deshalb dürfen wir die Faktoren 
und 
einzeln gleich Null setzen.
Jetzt kennen wir die x-Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten.
