Wendepunkte mit der dritten Ableitung nachweisen

Um die Existenz eines Wendepunktes zu überprüfen, muss man nur die x-Koordinate des (vermutlichen) Wendepunktes in die dritte Ableitung einsetzen. Ist die dritte Ableitung an der Stelle ungleich Null, liegt wirklich ein Wendepunkt WEP vor. Ansonsten liegt kein Wendepunkt, sondern nur ein Flachpunkt FLAP vor. (Mit ist immer eine konkrete Zahl gemeint. Hier steht für die x-Koordinate des Wendepunktes bzw. Flachpunktes.)

Ein Flachpunkt (FLAP) ist ein Punkt, wo gilt. Somit stellt der Wendepunkt (WEP) einen Sonderfall des Flachpunktes dar. Im Wendepunkt gilt schließlich ebenfalls . Bei einem WEP muss sich allerdings das Vorzeichen von ändern, was der Bedingung entspricht. Bei einem FLAP kann ein Vorzeichenwechsel von vorliegen, muss aber nicht.

Ein Flachpunkt von , der kein Wendepunkt ist, sieht aus wie ein etwas „eckiges“ Extremum. (Ein Flachpunkt von ist gleichzeitig auch immer ein Extremum von , entweder TIP oder HOP.) An einem Flachpunkt, der kein WEP ist, ist zwar die Krümmung von gleich Null, also , aber die Krümmung ändert ihr Vorzeichen nicht. Vergleiche Abbildung! Die Funktion hat beispielsweise an der Stelle zwar die Krümmung Null, aber die Krümmung ändert sich nicht. (Man lenkt nicht um.) Es liegt daher kein Wendepunkt vor, sondern nur ein Flachpunkt.

Abb.:Graph der Funktion mit Flachpunkt (0|0)

Zusammenfassung:

Hinweis:Das Zeichen ist die mathematische Schreibweise für UND ZUGLEICH.

Bei den meisten Wendepunkten verläuft die Wendetangente nicht waagrecht. Es gibt aber auch Wendepunkte mit waagrechter Tangente;sie werden Terrassenpunkte (TEP) genannt. Der Terrassenpunkt stellt somit einen Spezialfall des Wendepunktes dar. Da die Tangente in einem Terrassenpunkt waagrecht verläuft, muss dort auch die Steigung gleich Null sein, d.h. es muss gelten. Weil ein Terrassenpunkt auch ein Wendepunkt ist, gilt natürlich zusätzlich .

Hinweis:

Manche Lehrer führen den Begriff „Flachpunkt“ überhaupt nicht ein und sprechen stattdessen einfach nur von einem „Punkt ohne Krümmung“ oder sie fragen generell nur nach den „Wendepunkten“ der Funktion.

Vorsicht:„Wendepunkt“ und „Flachpunkt“ ist definitiv nicht das Gleiche! „Wendepunkt“ ist eine genauere Bezeichnung als „Flachpunkt“.

Flachpunkte von heißen schließlich alle Punkte, wo die Krümmung von gleich Null ist, also wo gilt.

Wendepunkte von sind dagegen nur diejenigen Punkte, wo die Krümmung von gleich Null ist und sich das Krümmungsverhalten ändert, also wo gilt und sich das Vorzeichen von ändert.

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