Die Quotientenregel

Danach sollte dir die Problematik klar sein, die sich dadurch ergibt, dass die Funktionsgleichung im Zähler kein x enthält. Wenn du es dir zutraust, kannst du natürlich gleich ´mal alleine versuchen zu bilden, ohne vorher auf die folgende Lösung zu schauen.

Hättest du die 0 nicht hingeschrieben, hättest du fälschlicherweise  erhalten, d.h. der Ausdruck wäre nicht weggefallen. Die Ableitung wäre falsch! Also Vorsicht, wenn bei einem Bruch x nur im Nenner, aber nicht im Zähler vorkommt.

Zu 4d.)

Hier noch einmal die Funktion, die abgeleitet werden soll:

Diese Funktion hat es in sich. Im Zähler liegt ein Produkt vor, das in beiden Faktoren die Variable x enthält, so dass man die Produktregel zum Ableiten des Zählers braucht. Insgesamt handelt es sich aber um einen Bruch mit x im Nenner, so dass die Funktion nur mit der Quotientenregel abgeleitet werden kann. Wir brauchen hier also die Quotienten- und die Produktregel! Die beiden Regeln kommen hier also kombiniert vor. Bloßmit welcher Regel muss man jetzt anfangen? Hm? Um das zu entscheiden, muss man sich überlegen, ob die Funktion insgesamt ein Produkt oder Quotient ist. Offensichtlich liegt hier ein Quotient vor, dessen Zähler allerdings ein Produkt ist. Weil es sich bei insgesamt um einen Quotienten handelt, muss logischerweise mit der Quotientenregel begonnen werden.

Laut Quotientenregel gilt:

Oder in Worten:

Ableitung des Zählers mal Nenner  minus  Zähler mal Ableitung des Nenners, durch Nenner zum Quadrat

Es geht also in der Quotientenregel los mit der Ableitung des Zählers u´ und dafür braucht man die Produktregel, weil der Zähler schließlich ein Produkt ist. Damit die ganze Geschichte für dich überschaubarer wird, schreiben wir u, v, u´ und v´ einzeln auf, bevor alles in die Quotientenregel eingesetzt wird. Um u´ zu bilden, wird die Produktregel verwendet.

Jetzt muss die Ableitung nur noch vereinfacht werden. Dazu multiplizieren wir im Zähler die Klammern aus und fassen nachher soweit möglich zusammen. Den Nenner lassen wir, wie er ist;das Quadrat wird also nicht ausgerechnet.

Die Terme und im Zähler des Bruchs lassen sich noch zusammenfassen zu . Der Rest wird einfach abgeschrieben.

Jetzt wird aus den ersten beiden Faktoren des Zählers ausgeklammert, um die Faktoren und zusammenzufassen. Außerdem wird aus den letzten beiden Faktoren im Zähler ausgeklammert, um die beiden hinteren Faktoren des Zählers und zusammenzufassen.

---