Die Produktregel
Falls du sie jedoch (noch) nicht weißt, kannst du sie folgendermaßen herleiten:Die (zweite) Wurzel mit dem Potenzgesetz 
als Potenz 
schreiben, mit der Regel 
ableiten und zum Schluss wieder ohne Potenz schreiben, also die Ableitung mit dem Potenzgesetz 
umformen.
(Näheres dazu auch beiKurzwiederholung der grundlegenden Ableitungsregeln)
Weißt du noch, wie man die natürliche Logarithmusfunktion ableitet? Nein? Also, die Funktion 
leitet man folgendermaßen ab:
Nun solltest du in der Lage sein, die Ableitung der Funktion 
mit Hilfe der Produktregel selbständig zu bilden. Versuch´s wirklich alleine, also nicht vorher auf die folgende Lösung schauen!
Hoffentlich hast du inzwischen selbst herausgefunden, dass gilt:
Die Ableitung muss noch vereinfacht werden. Das machen wir, indem wir beim ersten Bruch die Zahl 2 kürzen und den Nenner rational machen, d.h. mit 
erweitern. Danach haben beide Brüche den gleichen Nenner und wir können sie auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben.
Jetzt klammern wir noch 
im Zähler aus.
Weiter lässt sich diese Ableitung nicht vereinfachen. Also sind wir fertig.
Hast du dich eigentlich gefragt, warum man Funktionen der Form 
nicht einfach ableiten darf, indem man 
rechnet? Auf den Beweis der Produktregel 
wurde auf dieser website absichtlich verzichtet;du brauchst diesen Beweis mit Hilfe des Differenzialquotienten sowieso nicht. (Wenn du ihn doch sehen willst, brauchst du nur in dein Mathe-Schulbuch zu schauen.) Man kann das aber auch ganz einfach an einem konkreten Beispiel erklären. Nehmen wir doch ´mal die Funktion 
. Dass man statt auch 
schreiben kann, ist dir bestimmt klar. Dass die Funktion die Ableitung 
hat, weißt du natürlich auch. Es lässt sich schließlich bei die Ableitungsregel 
anwenden. Jetzt leiten wir die Funktion in der Form ab. Einmal verwenden wir dabei ganz korrekt die Produktregel und einmal rechnen wir einfach 
abgeleitet mal 
abgeleitet. Du wirst sehen, dass nur mit der Produktregel das richtige Ergebnis herauskommt.
1. Mit Produktregel ableiten
Es ergibt sich also mit der Produktregel die korrekte Ableitung.
2. Wir berechnen .
Offensichtlich ergibt nicht die Ableitung von .
An diesem Beispiel konntest du sehen, dass es wirklich falsch ist, wenn man bei Funktionen der Form die Ableitung mit bildet.
Also Vorsicht: 
