Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Es darf also nur ein Stück der Parabel gezeichnet werden, nicht die komplette Parabel. Die zweite Teilfunktion 
ist eine fallende Gerade, die aber nur für 
gilt. Es darf also nur das entsprechende Stück der Gerade gezeichnet werden. Die Parabel und die Gerade stoßen an der Stelle 
zusammen. Diese Stelle nennen wir die „Nahtstelle“, sie wird im Folgenden als 
bezeichnet. ist immer eine konkrete Zahl, in unserem Beispiel gilt: 
Niemals gelten beide Teilfunktionen an der Stelle gleichzeitig. Sonst wäre 
eventuell keine Funktion;eine Funktion ordnet schließlich laut Definition jedem x genau ein y zu. Wären beide Teilfunktionen an der Stelle definiert, wäre die Zuordnung eventuell nicht eindeutig. Das Gleichheitszeichen (direkt unterhalb des Ungleichheitszeichens) steht bei einer teilweise definierten Funktion deshalb immer nur bei einem der beiden Definitionsbereiche (oder bei gar keinem) dabei. Es darf also nicht sein, dass sowohl die Parabel als auch die Gerade an der Stelle gleichzeitig gelten. In unserem Beispiel gilt an der Stelle nur die Parabelgleichung 
, da sie für 
definiert ist und nicht bloßfür x <1. Es steht also beim Definitionsbereich der Parabel das Gleichheitszeichen dabei. Beim Definitionsbereich der Gerade ist die Zahl 1 ausgeschlossen;die Gerade gilt nur für x >1 und nicht für 
. (Hier steht kein Gleichheitszeichen dabei.)
Die Definitionsbereiche einer teilweise definierten Funktion können auch in der Intervallschreibweise angegeben sein. In unserem Beispiel sähe das folgendermaßen aus:
Die Parabel ist somit im Bereich 
definiert;die Gerade gilt entsprechend im Intervall 
. Nur im Definitionsbereich der Parabel ist die Zahl 1 eingeschlossen;nur dabei ist die eckige Klammer zu der 1 hin gerichtet. Beim Definitionsbereich der Gerade ist die Zahl 1 dagegen ausgeschlossen, weil die eckige Klammer von der 1 weg gerichtet ist. Bei teilweise definierten Funktionen ist grundsätzlich eine der eckigen Klammern nach innen zum hin und eine nach außen vom weg gerichtet. Es darf schließlich immer nur eine der Teilfunktionen an der Nahtstelle gelten.
