Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Die obere Teilfunktion gilt schließlich bei .

Die Klammer löst man am schnellsten auf, indem man innerhalb der Klammer die Reihenfolge der Summanden vertauscht.

Nun kann die zweite Binomische Formel angewendet werden, um die Klammer aufzulösen:

Zum Vergleich hier noch einmal der bereits vorher berechnete linksseitige Grenzwert:

Jetzt zur zweiten Nahtstelle. Sie befindet sich bei . Ab jetzt bezeichnen wir diese Stelle als . (Streng genommen müsste sie irgendeine andere Bezeichnung, beispielsweise , bekommen, weil die Bezeichnung eigentlich schon für -5 vergeben ist. Wir nehmen aber ab jetzt die Bezeichnung für die zweite Nahtstelle, weil du sicherlich inzwischen schon daran gewöhnt bist, die zu untersuchende Stelle so zu benennen.)  Ab sofort gilt:

Hier noch einmal die betragsfreie Form der Funktion:

Untersuchung auf Differenzierbarkeit an der Stelle :

1. Methode:Ableitung der Teilfunktionen bilden und einsetzen in beide Ableitungen

Die Ergebnisse sind nicht gleich, daher ist die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar. Hier hat der Graph einen zweiten Knick. (Der erste Knick ist bei .) Außerdem sind die Vorzeichen der beiden Grenzwerte und unterschiedlich, so dass an der Stelle ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung vorliegt:Der Graph besitzt daher bei ein Extremum, genauer gesagt einen absoluten Tiefpunkt. Dass es sich um einen Tiefpunkt handelt, erkennt man daran, dass negativ und positiv ist, also daran dass der Graph links von fällt und direkt rechts davon steigt. (Er fällt jedoch nur bis . Dort verläuft die Tangente waagrecht und es ändert sich die Monotonie des Graphen wieder. Bei ist ein relativer Hochpunkt von .)

Übersicht über das Steigungsverhalten von :

x
		Knick		0		Knick
		TIP		HOP		TIP

2. Methode:Differenzierbarkeit untersuchen mit der h-Methode

Hier noch einmal die betragsfreie Form der Funktion:

Allgemeiner Ansatz für den linksseitigen Grenzwert der Ableitung:

Wir überprüfen gerade die Differenzierbarkeit bei linksseitiger Annäherung an die Stelle . Daher setzen wir für die Zahl 2 in den allgemeinen Ansatz ein. So ergibt sich:

Da wir uns von links an die Stelle annähern, brauchen wir diejenige Teilfunktion, die für gilt. Das ist die untere Teilfunktion . Um zu bilden, muss jedes darin vorkommende x durch den Ausdruck ersetzt werden.

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