Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Merke:Immer zuerst überprüfen, ob die Funktion an der Stelle stetig ist, bevor du die Differenzierbarkeit an der Stelle untersuchst!

Ist die Funktion an der Stelle gar nicht stetig, kann man sich die Untersuchung auf Differenzierbarkeit komplett schenken, weil die Funktion dann an der Stelle sowieso nicht differenzierbar sein kann.

nicht stetig bei nicht differenzierbar bei

Vorsicht:Die umgekehrte Aussage gilt nicht generell! Eine an der Stelle nicht differenzierbare Funktion kann dort stetig sein oder auch nicht! Von der Aussage „nicht differenzierbar“ kann also nicht sofort auf die Stetigkeit bzw. Unstetigkeit geschlossen werden. Allerdings ist jede differenzierbare Funktion zwangsläufig stetig, da die Stetigkeit eine Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist.

differenzierbar bei stetig bei

Beispiele:

	Die Funktion ist an der Stelle stetig (keine Sprungstelle), aber nicht differenzierbar (Knick).
	Die Funktion ist an der Stelle stetig (keine Sprungstelle) und differenzierbar (kein Knick), aber an der Stelle nicht stetig (Sprungstelle) und daher auch nicht differenzierbar.
	An der Stelle ist die Funktion nicht stetig (Sprungstelle) und somit dort auch nicht differenzierbar.
	An der Stelle ist die Funktion zwar stetig, aber nicht differenzierbar (Knick).

Eine Polynomfunktion (= ganzrationale Funktion) ist in grundsätzlich stetig und differenzierbar;ihr Graph hat schließlich weder Sprungstellen noch Knicke. Anders sieht das bei Betragsfunktionen oder teilweise definierten Funktionenaus. Teilweise definierte Funktionen sind aus zwei oder mehr verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzte Funktionen:Die eine Funktionsgleichung gilt beispielsweise für und die andere für . Sie werden mit einer geschweiften Klammer geschrieben.

Beispiel für eine teilweise definierte Funktion:

Die Funktion setzt sich hier aus den beiden Teilfunktionen und zusammen. Die Teilfunktion stellt eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel bei dar, die aber nur für gilt.

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