Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Es liegt an der Stelle ein Tiefpunkt vor. Stelle dir das einfach mit Pfeilen vor: Zuerst fällt der Graph, dann steigt er. Also ist hier ein Tiefpunkt bzw. Minimum.

Wenn die Vorzeichen der Grenzwerte genau umgekehrt sind, d.h. und , liegt an der Stelle ein Hochpunkt / Maximum vor.

Obwohl die Steigung an der Knickstelle nicht gleich Null ist, weil keine waagrechte Tangente vorhanden ist, existiert trotzdem ein Extremum, wenn an der Stelle ein Vorzeichenwechsel von vorliegt.

Also Vorsicht:Ist eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar, hat sie dort einen Knick und es kann sein, dass  genau an der Knickstelle ein Extremum liegt. Mit kannst du dieses Extremum nicht ermitteln!

Extremum an einer Knickstelle: Eine Funktion ist an der Stelle zwar stetig, aber nicht differenzierbar. Ihr Graph hat an der Stelle somit einen Knick. ·         Haben die beiden Grenzwerte und unterschiedliche Vorzeichen, dann liegt bei ein Extremum vor. ·         Ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt, kann nur an Hand der Monotonie / Steigungsverhaltens ermittelt werden, nicht aber mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Bevor wir uns ein Beispiel mit Extremum bei einem Knick des Graphen anschauen, wollen wir aber erst einmal an einem konkreten Beispiel zeigen, wie man die Differenzierbarkeit an einer bestimmten Stelle überprüft.

1. Bsp.:

Überprüfe, ob die Funktion an der Stelle differenzierbar ist.

Lösung:

1. Schritt:        Untersuchung der Stetigkeit

Es müssen die Grenzwerte der Funktion für und sowie der Funktionswert berechnet werden.

Es ergibt sich immer das gleiche Ergebnis. Daher ist die Funktion an der Stelle stetig.

2. Schritt:        Untersuchung der Differenzierbarkeit

1. Methode

Die Stetigkeit an der Stelle ist nachgewiesen;nun leitet man die einzelnen Teilfunktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln ab. (Siehe auch:Einfache Ableitungsregeln) Dann setzt man jeweils in die Ableitung der beiden Teilfunktionen ein. Ergibt sich dabei zweimal das gleiche Ergebnis, ist die Funktion an der Stelle differenzierbar.

Hier noch einmal die Funktion:

Erste Ableitung:

Vielleicht wunderst du dich, warum bei der Ableitung der oberen Teilfunktion nur und nicht geschrieben wurde. Das ist kein Tippfehler, sondern Absicht! Wir wissen schließlich noch gar nicht, ob die Ableitung an der Stelle überhaupt existiert.

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