Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bei der Stetigkeit ging es immer um die Grenzwerte des Funktionswertes , also um die y-Werte der Teilfunktionen an der Stelle . Bei der Differenzierbarkeit geht es dagegen um die erste Ableitung , also um die Steigung der Funktion bei Annäherung von links bzw. rechts an die Stelle .

Soll eine Funktion an der Stelle auf Differenzierbarkeit untersucht werden, muss der links- und rechtsseitige Grenzwert der Ableitung gebildet werden. Es geht hierbei somit um die Steigung an der Nahtstelle, also ob die von links und von rechts an den Graph gelegten Tangenten jeweils die gleiche Steigung besitzen.

Definition:  Eine an der Stelle stetige Funktion ist an der Stelle differenzierbar, wenn gilt:

Anmerkung:

ist eine konkrete Zahl. Eine Funktion wird immer lokal, also an einer bestimmten Stelle auf Differenzierbarkeit untersucht. Im ersten nachfolgenden Beispiel (siehe unten) ist . Mit ist, wie schon bei der Stetigkeit, die Nahtstelle gemeint, d.h. die x-Koordinate des Punktes, wo die jeweiligen Teilfunktionen einer teilweise definierten Funktion zusammenstoßen.

Oben gezeigte Definition noch einmal in Worten:Sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der ersten Ableitung an der Stelle gleich, ist eine stetige Funktion an der Stelle differenzierbar, d.h. sie hat dort keinen Knick. Die Teilfunktionen einer teilweise definierten Funktion gehen „weich“ ineinander über. Nur dann kann man die Steigung der Funktion an der Stelle , d.h. ihre Ableitung an dieser Stelle, angegeben.

Wichtig:Bevor die Differenzierbarkeit an der Stelle untersucht werden kann, muss die Stetigkeit gezeigt werden! Nur wenn in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass die Funktion an der zu untersuchenden Stelle stetig ist, kann auf die rechnerische Überprüfung der Stetigkeit verzichtet werden. Ansonsten gilt:Immer erst Stetigkeit zeigen, danach auf Differenzierbarkeit prüfen. (Ist die Funktion an der Stelle nicht stetig, dann ist sie auch nicht differenzierbar. Das braucht man gar nicht rechnerisch untersuchen, denn nur eine an der Stelle stetige Funktion kann dort überhaupt differenzierbar sein. Wenn eine Funktion eine Sprungstelle hat (also unstetig ist), kann ihr Graph an dieser Stelle schließlich nicht weich verlaufen (kann also gar nicht differenzierbar sein).

Merke: 1. Schritt:Stetigkeit an der Stelle überprüfen (Vergleiche oben!) Ist die Funktion an der Stelle nicht stetig, ist sie dort auch sicher nicht differenzierbar. nicht stetig bei nicht differenzierbar bei Ist die Funktion an der Stelle stetig, kann sie dort differenzierbar sein oder nicht. Das muss erst noch untersucht werden. 2. Schritt:Differenzierbarkeit an der Stelle überprüfen

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