Variante 3
die Steigung einer Kurve zu berechnen. Gerade die Ableitungsfunktion 
wird im Weiteren noch extrem wichtig werden, doch mit ihr beschäftigen wir uns erst eingehender im gesonderten Teil Die Ableitungsfunktionf´(x).
Im Folgenden werden erst noch einige etwas schwierigere Beispiele für die Ermittlung von mit dem Differenzialquotienten vorgestellt. Es geht dabei nicht ohne kleine algebraische Tricks. Ganz ohne Hilfe kommt man nur schwer darauf. Daher sollst du diese Tricks hier einmal gezeigt bekommen.
4. Bsp.:
Berechne die Ableitungsfunktion 
der Funktion 
mit Hilfe des Differenzialquotientens! Ermittle sodann die maximale Definitionsmenge 
der Funktion 
und die maximale Definitionsmenge 
der Ableitungsfunktion ! Was fällt dir beim Vergleich von und auf?
Lösung:
Gegeben: 
Gesucht:
Wir gehen vom allgemeinen Ansatz des Differenzialquotientens für die Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
aus.
Allgemeiner Ansatz für den Differenzialquotienten:
Wir sollen in dieser Aufgabe die Ableitungsfunktion ermitteln, also nicht die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle , sondern an einer beliebigen Stelle x innerhalb der Definitionsmenge. Dies stellt jedoch kein Problem dar. Man muss nur rein formal 
am Ende der Rechnung durch x ersetzen.
Nun brauchen wir und 
, weil diese Ausdrücke im Zähler des Differenzenquotienten benötigt werden. zu bilden ist ja nicht schwer;du schreibst einfach statt x in der Funktionsgleichung . Es gilt daher:
Wenn du das in den allgemeinen Ansatz des Differenzialquotientens einsetzt, erhältst du:
Jetzt müsste man eigentlich 
herauskürzen, um den Grenzwert zu berechnen. So lange im Nenner steht, kann man für x nicht einsetzen, was man aber letztendlich bei der Berechnung des Grenzwertes machen muss. Daher muss der Nenner weggekürzt werden. Doch in der momentan vorliegenden Form ist dies nicht möglich. Dass man aus diesem Ausdruck nicht kürzen kann, ist dir bestimmt klar. Wir haben also ein echtes Problem. Hm? Was tun?
Wir bedienen uns eines kleinen mathematischen Tricks:
Wir erweitern den Bruch so, dass im Zähler die dritte binomische Formel 
entsteht.
Im Zähler des Differenzialquotienten steht im Moment 
;das entspricht dem Faktor 
aus der dritten binomischen Formel. Wir erweitern mit dem Ausdruck 
, was dem Ausdruck 
aus der binomischen Formel entspricht.
So weit, so gut. Doch was bringt uns dieses Erweitern überhaupt? Warum wird auf diese Art und Weise erweitert? Forme die binomische Formel doch einfach ´mal um! Dann kommst du bestimmt auch selbst darauf.
