Variante 3
Abb.: Graph der Parabel 
mit x 
[-50;50] mit Sekante AB, Neigungswinkel 
der Sekante, sowie Tangente im Punkt A und Neigungswinkel der Tangente 
.
Den Neigungswinkel der Sekante AB haben wir bereits in Teilaufgabe 7b.) berechnet:
Du siehst, dass der Neigungswinkel der Tangente im Punkt A wesentlich größer ist als der Neigungswinkel der Sekante AB. Will man herausfinden, unter welchem Winkel der Brückenbogen die Horizontale im Punkt A schneidet, darf man also keinesfalls von der durchschnittlichen Steigung zwischen den Punkten A und B ausgehen!
Man muss immer erst die Steigung genau im Punkt A berechnen und nicht die durchschnittliche Steigung zwischen A und B, wenn man den Neigungswinkel der Tangente sucht. Da die Brücke zuerst steiler und dann immer flacher wird, kann ein durchschnittlicher Wert der Steigung keine Hilfe bei der genauen Berechnung des Neigungswinkels der Brücke in einem bestimmten Punkt sein. Daher ist die Tangentensteigung, d.h. die lokale Änderungsrate des Funktionswertes, unerlässlich für die Berechnung des Neigungswinkels einer Kurve in einem bestimmten Kurvenpunkt. Daran kannst du die Wichtigkeit des Differenzialquotienten erahnen.
Fassen wir zum Abschluss dieses Beispiels noch einmal kurz zusammen, was du daran lernen solltest:
| Von der mittleren Änderungsrate, also der Sekantensteigung, ist die lokale Änderungsrate in einem Punkt, also die Tangentensteigung in diesem einen Kurvenpunkt, zu unterscheiden:
Mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung zwischen
Lokale Änderungsrate (Tangentensteigung in
|
und 
) 
Differenzenquotient
) 
bzw. 
Nun zur nächsten Beispielaufgabe.
8. Bsp.:Beschleunigung
Ein Auto beschleunigt aus dem Stand. Seine Geschwindigkeit 
in 
nach t Sekunden kann mit Hilfe der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion 
berechnet werden, welche zumindest für eine gewisse Zeit den Zusammenhang zwischen der vergangenen Zeit t (in Sekunden) und der erreichten Geschwindigkeit v (in ) beschreibt.
a.) Erstelle eine Wertetabelle für die ersten vier Sekunden in Schritten von 0,5 Sekunden und zeichne den Graph für 
. (Maßstab:t- Achse:1 cm = 0,5 Sekunden;v- Achse:1 cm = 5 )
b.) Erkläre an diesem Beispiel, was man unter der absoluten Änderung der Geschwindigkeit und der mittleren Änderung der Geschwindigkeit versteht. Wodurch unterscheidet sich davon die momentane Änderung der Geschwindigkeit? Was bedeuten in diesem Zusammenhang die Begriffe „Differenzenquotient“ und „Differenzialquotient“ anschaulich?
