Variante 3
Wir wollen die Steigung einer Funktion in einem gegebenen Punkt
berechnen, also die Steigung der Tangente an
in diesem Punkt.
Wir bleiben vorerst bei unserem Einführungsbeispiel mit dem Punkt
. Wie kann man nun die Tangentensteigung im Punkt P berechnen?
Zusätzlich zum gegebenen, festen Kurvenpunkt verwenden wir wieder einen zweiten Kurvenpunkt H als Hilfspunkt. Da auch H auf der Funktion
liegt, kann man allgemein
schreiben, wobei gelten soll
. (Mit
ist gemeint, dass H und P verschiedene x-Koordinaten haben sollen, also dass H wirklich ein anderer Punkt ist als P.) Durch die beiden Kurvenpunkte P und H ist daher eine Gerade festgelegt. Sie schneidet den Graph der Funktion
natürlich genau in den Punkten P und H. Daher ist die Gerade PH eine Sekante des Graphen. Betrachte dazu die folgende Abbildung!
Abb.:Zur Berechnung der Tangentensteigung zu im Punkt
. Der Hilfspunkt H wird immer näher an den festen Punkt P heran geschoben, d.h. x geht gegen 1. So wird aus der Sekantensteigung letztendlich die Tangentensteigung.
Mit Hilfe der beiden Punkte und
sowie der Formel
lässt sich die Sekantensteigung
berechnen.
Dieser Ausdruck ist der Differenzenquotient.
Beachte dabei den Unterschied zwischen x und !
steht für die x-Koordinate des angegebenen Punktes P, also für eine feste Zahl. In unserem Einführungsbeispiel hat der Punkt
die x-Koordinate 1, daher ist hier
. In einfacheren Worten:
ist grundsätzlich die x-Koordinate des angegebenen Punktes P. Dagegen ist x eine beliebige, variable Zahl, die nur nicht exakt mit
zusammenfallen darf, denn es muss gelten:
Vom Differenzenquotienten, der nur die Sekantensteigung angibt, kommt man zum Differenzialquotienten, welcher letztendlich die gesuchte Tangentensteigung im Punkt ergibt, indem man den Hilfspunkt
beliebig nah an den gegebenen festen Kurvenpunkt
heranschiebt. Dadurch wird aus der Sekante letztendlich die Tangente im Punkt
und aus der Sekantensteigung durch die Annäherung von x an
die gesuchte Tangentensteigung. Dieses Heranschieben von x an
wird mathematisch durch die Schreibweise
(sprich:„Limes x gegen x Null“ ausgedrückt. So erhalten wir für die Tangentensteigung im Punkt
:
Dieser Ausdruck heißt Differenzialquotient der Funktion an der Stelle
. Er beschreibt die Steigung der Tangente an die Funktion
im Punkt
.
Da die Tangentensteigung der Steigung der Funktion in diesem Punkt entspricht, lässt sich mit Hilfe des Differenzialquotienten auch die Steigung der Funktion im Punkt berechnen.
Die Steigung einer Funktion an der Stelle
wird als erste Ableitung
, kurz Ableitung, der Funktion an der Stelle
bezeichnet.
Daher gilt für die Tangentensteigung bzw. für die Steigung der Funktion an der Stelle :
Mit Hilfe der folgenden Abbildung kannst du dir den Sachverhalt hoffentlich einigermaßen vorstellen.
Abb.:Graph einer Funktion mit den Kurvenpunkten P und H einschließlich der Tangente in P und der Sekante PH