Die h-Methode
Im Zähler müssen jetzt alle Klammern aufgelöst werden. Die erste Klammer wird mit Hilfe der ersten binomischen Formel 
ausgerechnet.
Das Minus vor der verbliebenen Klammer dreht bekanntlich die Vorzeichen der in der Klammer stehenden Faktoren um.
Ausklammern von h ergibt:
Nun kann man h aus dem Nenner wegkürzen.
Als letztes führen wir den Grenzübergang durch, d.h. wir setzen für h Null ein:
Der Term 
entspricht der Steigung der Funktion 
in einem allgemeinen festen Kurvenpunkt ( 
.
Nun lässt sich jeweils die Steigung der Funktion in den angegebenen Punkten P(2|f(2)), Q(3|f(3)) und R(4|f(4)) berechnen, indem wir für 
nacheinander die Werte 2, 3 und 4 einsetzen:
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(2|f(2)).
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(3|f(3)).
Das ist die Steigung der Funktion im Punkt P(4|f(4)).
Die Aufgabe ist damit gelöst.
Betrachte trotzdem noch einmal den Ausdruck 
!
Wenn man dabei statt einfach x schreibt, erhalten wir die sogenannte Ableitungsfunktion 
der Funktion 
.
Für die Funktion gilt also:
Wenn du das Ergebnis von 
schnell im Kopf überprüfen willst, musst du nur folgendes machen:Bei jeder x-Potenz von 
den Exponenten nach vorne ziehen und mit der Zahl davor multiplizieren, außerdem die Zahl 1 vom Exponenten abziehen. Zahlen ganz ohne x fallen dann ganz weg, weil man sich zu einer Zahl ohne x einfach 
dazu denken kann und Null mit etwas multipliziert ergibt Null, fällt also weg. So kannst du ganz leicht im Kopf ermitteln.
Kontrolle:
(Zur Erinnerung: 
)
Super, das Ergebnis stimmt mit dem überein, das wir oben mit viel Mühe mit dem Differenzialquotienten gebildet haben. Es stimmt somit alles. (Ausführlichere Erläuterungen zu der Schnellmethode, mit der wir soeben im Kopf gebildet haben, findest du im Abschnitt:Einfache AbleitungsregelnLeider darfst du dieses Verfahren offiziell erst später anwenden.)
Die Ableitungsfunktion 
beschreibt die relative Veränderung der Funktionswerte von .
Je stärker sich die Funktionswerte von im Vergleich zu x ändern, desto steiler verläuft der Graph der Funktion . Umgekehrt verläuft der Graph von umso flacher, je weniger sich die Funktionswerte relativ zu x ändern. Die relative Veränderung der Funktionswerte entspricht daher dem Steigungs- bzw. Monotonieverhalten der Funktion . Das Berechnen der Ableitungsfunktion bezeichnet man als globales Differenzieren.
