Die h-Methode
Jetzt kann der Grenzwert endlich berechnet werden, indem h gleich Null gesetzt wird. (Es gibt jetzt schließlich keinen Nenner mehr, der Null werden könnte.)
Die Steigung der Funktion 
an der Stelle 
ist somit 3.
Wenn du in einer anderen Aufgabe bei ein und derselben Funktion 
in mehreren Punkten, also an mehreren Stellen 
die Tangentensteigung berechnen sollst, empfiehlt es sich, nicht gleich zu Beginn der Rechnung für 
die erste dieser Zahlen einzusetzen, dann den zugehörigen Differenzialquotienten zu berechnen und dann mit den nächsten Zahlen entsprechend zu verfahren. Dann müsstest du ja mehrmals den kompletten Differenzialquotienten nur mit verschiedenen Zahlen berechnen und das wäre sehr viel Arbeit. Geschickter ist es dann, den Differenzialquotienten erst allgemein mit 
zu berechnen, also vorerst nichts für einzusetzen. Im Ergebnis der Ableitung 
kommt dann in der Regel noch vor. Erst in dieses Ergebnis setzt du die gegebenen x-Koordinaten für ein, um jeweils die Tangentensteigung an diesen Stellen zu erhalten. Vergleiche dazu auch die folgende Beispielaufgabe!
3. Bsp.:
Gegeben ist die Funktion 
. Es soll die Steigung der Funktion in den Punkten P(2|f(2)), Q(3|f(3)) und R(4|f(4)) berechnet werden. Ermittle dazu erst die Tangentensteigung in einem beliebigen Kurvenpunkt ( 
und setze danach für 
die Werte 2, 3 und 4 ein!
Lösung:
Um Zeit zu sparen, wird in dieser Aufgabe nicht dreimal nacheinander die h-Methode für die einzelnen Werte von durchgeführt, sondern nur einmal mit dem allgemeinen Kurvenpunkt ( 
. Wir setzen also zu Beginn nicht gleich eine der gegebenen x-Koordinaten 2, 3 oder 4 in den allgemeinen Ansatz der h-Methode ein, sondern wir rechnen einfach allgemein mit . Dadurch erhalten wir die Ableitung . Danach können dann die entsprechenden Werte für in die Ableitung eingesetzt werden. Versuch´s doch gleich mal selbst, ohne dir die folgende Lösung anzuschauen! Du musst hier im Prinzip genauso rechnen, wie in den vorherigen Beispielen, allerdings ohne zu Beginn eine konkrete Zahl für einzusetzen. Das Einsetzen der Zahlen 2, 3 und 4 heben wir uns erst einmal für später auf.
Allgemeiner Ansatz für den Differenzialquotienten in der h-Methode:
Nun müssen 
und 
mit der gegebenen Funktion 
gebildet werden.
Falls du jetzt nicht weiter weißt:
berechnet man, indem man in der Funktionsgleichung von an Stelle von jedem x den Ausdruck 
schreibt. erhältst du dadurch, dass du in der Funktionsgleichung statt x einfach schreibst.
