Die h-Methode

Daher muss h weggekürzt werden. Doch in der momentan vorliegenden Form ist dies nicht möglich. Dass man h aus diesem Ausdruck nicht kürzen kann, ist dir bestimmt klar. Wir haben also ein echtes Problem. Hm? Was tun?

Wir bedienen uns eines kleinen mathematischen Tricks:

Wir erweitern den Bruch so, dass im Zähler die dritte binomische Formel entsteht.

Im Zähler des Differenzialquotienten steht im Moment ;das entspricht dem Faktor aus der dritten binomischen Formel. Wir erweitern mit dem Ausdruck  , was dem Ausdruck aus der dritten binomischen Formel entspricht.

So weit, so gut. Doch was bringt uns dieses Erweitern überhaupt? Warum wird auf diese Art und Weise erweitert? Forme die binomische Formel doch einfach ´mal um! Dann kommst du bestimmt auch selbst darauf.

Für alle, die Probleme mit der Umformung der binomischen Formel haben, hier noch eine kleine Hilfe:

Nun kannst du die folgende Umformung mit Hilfe der binomischen Formel sicher gut nachvollziehen:

Jetzt erkennst du sicher, was uns das Erweitern zur dritten binomischen Formel gebracht hat. Offensichtlich lässt sich h nun wegkürzen, so dass sich der Grenzwert dann leicht berechnen lässt, da nach dem Kürzen von h der Nenner nicht mehr Null ergibt, wenn man für h Null einsetzt.

Versuche ab hier alleine weiter zu rechnen, ohne vorher auf die folgende Lösung zu schauen! du musst nur h kürzen und danach den Grenzwert berechnen, indem du für h die Zahl 0 einsetzt. Dann fasst du noch soweit möglich zusammen. Los geht´s!

Wenn du richtig gerechnet hast, hast du Folgendes erhalten:

Die Ableitung an der Stelle kennen wir jetzt. Um die Ableitungsfunktion zu erhalten, muss nur noch rein formal durch x ersetzt werden:

Die Ableitungsfunktion haben wir somit berechnet. Nun sollen aber außerdem jeweils die maximalen Definitionsmengen und angegeben und miteinander verglichen werden.

Die Funktion ist für alle positiven, reellen Zahlen einschließlich Null definiert. (Aus negativen Zahlen kann die Wurzel ja nicht gezogen werden.) Daher gilt für die Definitionsmenge der Funktion:

Die Ableitungsfunktion ist zwar auch für alle positiven, reellen Zahlen definiert, jedoch nicht für x = 0, denn sonst würde der Nenner Null ergeben. Deshalb gilt für die Definitionsmenge der Ableitungsfunktion:

Die Definitionsmenge der Ableitungsfunktion wird übrigens auch als Differenzierbarkeitsbereich bezeichnet. Der Differenzierbarkeitsbereich und die Definitionsmenge der Funktion stimmen in diesem Fall nicht überein.

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