Delta-x-Methode
Wenn wir einen Weg finden, wie wir die Ableitungsfunktion 
schnell und einfach ermitteln könnten, also auch ohne Differenzialquotient, wäre es ganz einfach, die Tangentensteigung bzw. die Steigung einer Kurve zu berechnen. Gerade die Ableitungsfunktion wird im Weiteren noch extrem wichtig werden, doch mit ihr beschäftigen wir uns erst eingehender im gesonderten Teil Die Ableitungsfunktionf´(x).
Im Folgenden werden erst noch einige etwas schwierigere Beispiele für die Ermittlung von mit dem Differenzialquotienten vorgestellt. Es geht dabei nicht ohne kleine algebraische Tricks. Ganz ohne Hilfe kommt man nur schwer darauf. Daher sollst du diese Tricks hier einmal gezeigt bekommen.
4. Bsp.:
Berechne die Ableitungsfunktion 
der Funktion 
mit dem Differenzialquotienten! Ermittle dann die maximale Definitionsmenge 
der Funktion 
mit der maximalen Definitionsmenge 
der Ableitungsfunktion und vergleiche sie miteinander! Was fällt dir auf?
Lösung:
Gegeben: 
Gesucht:
Wir gehen aus vom allgemeinen Ansatz des Differenzialquotienten für die Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
. Er lautet:
Wir sollen in dieser Aufgabe die Ableitungsfunktion ermitteln, also nicht die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle , sondern an einer beliebigen Stelle x innerhalb der Definitionsmenge. Dies stellt jedoch kein Problem dar. Man muss nur rein formal 
durch x ersetzen. Ob man das gleich zu Beginn oder erst am Ende der Rechnung macht, ist egal. Wir rechnen hier vorerst noch mit und ersetzen erst am Schluss durch x.
Nun müssen wir 
und 
mit unserer Funktion bilden, weil diese Ausdrücke im Zähler des Differenzenquotienten benötigt werden. zu bilden ist ja nicht schwer;du schreibst einfach statt x in der Funktionsgleichung . Es gilt daher:
Wie bildet man aber ? Auch gar nicht so schlimm:Du setzt einfach für x den Ausdruck 
in unsere Funktionsgleichung ein. So erhältst du:
Wenn du das in den allgemeinen Ansatz des Differenzialquotienten einsetzt, erhältst du:
Jetzt müsste man eigentlich 
herauskürzen, um den Grenzwert zu berechnen. So lange im Nenner steht, kann man für nicht Null einsetzen, was man aber bei der Berechnung des Grenzwertes letztendlich machen muss. Daher muss weggekürzt werden. Doch in der momentan vorliegenden Form ist dies nicht möglich. Dass man aus diesem Ausdruck nicht kürzen kann, ist dir bestimmt klar.
